Chỉnh hợp là gì? Công thức & Bài tập về chỉnh hợp đầy đủ

Chỉnh hợp là gì và bài tập toán về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp là một phần kiến thức vô cùng quan trọng trong toán học. Khi nắm được các công thức này, bạn sẽ có thể dễ dàng giải các bài toán tổ hợp, xác suất một các đơn giản và nhanh chóng. Hãy cùng Sforum khám phá khái niệm, công thức cũng như các bài toán tổ hợp chỉnh hợp hoán vị qua bài viết dưới đây nhé.

Khái niệm và đặc điểm về chỉnh hợp

Chỉnh hợp là cách sắp xếp một nhóm phần tử được chọn từ một tập hợp lớn hơn, trong đó thứ tự sắp xếp là vô cùng quan trọng. Nói cách khác, nếu hai nhóm có cùng phần tử nhưng thứ tự khác nhau, chúng được coi là hai chỉnh hợp khác nhau. 

Ví dụ về bài toán chỉnh hợp, với tập hợp gồm ba số {1, 2, 3}, nếu chọn hai số thì 12 và 21 được xem là hai chỉnh hợp khác nhau.

Đặc điểm của chỉnh hợp chính là cần xem xét thứ tự sắp xếp và số lượng phần tử được chọn có thể nhỏ hơn hoặc bằng tổng số phần tử ban đầu. Ngoài ra chỉnh hợp thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến lập danh sách, sắp xếp vị trí, hoặc xác định thứ tự ưu tiên,...

 

Laptop là một thiết bị quan trọng phục vụ quá trình học tập cũng như tra cứu thông tin các bài tập toán về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp. Hãy ghé ngay gian hàng ở phía bên dưới của CellphoneS để tìm hiểu thêm các mẫu laptop và mua ngay với giá cực sốc bạn nhé.

[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Lý thuyết về hoán vị

Cùng với khái niệm chỉnh hợp là gì và ví dụ bài toán chỉnh hợp, bạn cũng nên tìm hiểu lý thuyết về hoán vị. Hãy tham khảo phần thông tin định nghĩa và các dạng hoán vị thường gặp để ứng dụng nó trong việc giải các bài toán bạn nhé.

Định nghĩa hoán vị

Hoán vị là cách sắp xếp thứ tự của tất cả các phần tử trong một tập hợp, mỗi hoán vị là một thứ tự khác nhau của các phần tử đó. Khái niệm này thường được sử dụng trong toán học, đặc biệt trong tổ hợp và xác suất, giúp xác định số cách sắp xếp khác nhau của một tập hợp hữu hạn.

Ví dụ, với tập hợp {X,Y,Z}, các hoán vị có thể là: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX.

Các dạng hoán vị thường gặp

Dưới đây là 3 dạng hoán vị phổ biến mà bạn nên nhớ để biết cách áp dụng và giải các bài toán về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp có liên quan:

• Hoán vị không lặp: Là cách sắp xếp thứ tự của tất cả phần tử trong một tập hợp sao cho không có phần tử nào bị lặp lại. Mỗi hoán vị là một cách sắp xếp duy nhất của các phần tử. Ví dụ: Với tập {1, 2, 3}, các hoán vị là: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
• Hoán vị có lặp: Là trường hợp trong đó một số phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong mỗi hoán vị và thường xảy ra đối với tập hợp có các phần tử giống nhau. Ví dụ: Với tập {1, 2, 1}, vì số 1 lặp lại nên các hoán vị là: 121, 211, 112.
• Hoán vị vòng: Là cách sắp xếp các phần tử theo dạng vòng tròn, trong đó một hoán vị được coi là giống nhau nếu có thể xoay vòng để trở về dạng ban đầu. Ví dụ: Với tập {A, B, C}, các hoán vị vòng là ABC, BCA, CAB.

Định nghĩa và ứng dụng của tổ hợp

Tổ hợp là cách chọn một nhóm phần tử từ một tập hợp lớn hơn mà không quan tâm đến thứ tự sắp xếp. Nói cách khác, nếu hai nhóm có cùng phần tử nhưng sắp xếp khác nhau, chúng vẫn được coi là một tổ hợp.

Ví dụ, nếu có 5 học sinh và cần chọn ra 2 người để làm bài thuyết trình, thì chỉ quan tâm đến danh sách hai người được chọn, không xét thứ tự ai được chọn trước hay sau.

Tổ hợp được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học với vai trò quan trọng như sau:

• Trong toán học, dùng công thức tổ hợp để giải các bài tập về chọn lựa, sắp xếp, xác suất,...
• Trong khoa học, tổ hợp hỗ trợ các nhà nghiên cứu trong việc chọn mẫu thử nghiệm hoặc phân tích dữ liệu.
• Trong đời sống thực tế, tổ hợp vẫn thường được áp dụng để chọn đội hình thi đấu, chia nhóm làm việc,...

Công thức tính hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Muốn làm các bài tập toán về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, bạn cần nắm được công thức của các phép toán này. Dưới đây, Sforum đã giúp bạn tổng hợp lại công thức cũng như đưa ra các ví dụ cơ bản để bạn hiểu hơn về cách áp dụng chúng trong các bài toán.

Công thức tính chỉnh hợp

Chỉnh hợp của k phần tử được chọn từ n phần tử, trong đó (1≤ k ≤ n) được tính theo công thức:

Ví dụ bài toán chỉnh hợp: Có 5 người và cần xếp 3 người vào 3 vị trí khác nhau, khi đó để tính số cách sắp xếp ta cần áp dụng công thức chỉnh hợp và tính A(3,5) = 60 cách.

Công thức tính tổ hợp

Tổ hợp của k phần tử được chọn từ n phần tử, trong đó (1≤ k ≤ n) được tính theo công thức:

Ví dụ bài toán tổ hợp: Có 5 người và cần chọn 3 người để tạo đội nhóm, khi đó để tính số cách chọn ta cần áp dụng công thức tổ hợp và tính C(3,5) = 10 cách.

Công thức tính hoán vị

Hoán vị của n phần tử là số cách sắp xếp toàn bộ n phần tử đó theo công thức:

Ví dụ bài toán hoán vị: Có 4 người tham gia xếp hàng, số cách sắp xếp họ là: P(4) = 4! = 24

Mối quan hệ giữa tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị

Sau khi đã biết công thức tính cũng như các ví dụ bài tập hoán vị chỉnh hợp tổ hợp cơ bản, bạn sẽ rút ra được mối quan hệ giữa 3 phép toán như sau:

• Hoán vị là một dạng đặc biệt của chỉnh hợp khi số phần tử được chọn bằng chính số phần tử của tập hợp ban đầu.
• Tổ hợp chỉ xét việc chọn phần tử mà không quan tâm đến thứ tự, trong khi chỉnh hợp tính cả cách sắp xếp của các phần tử đã chọn, do đó số chỉnh hợp luôn lớn hơn hoặc bằng số tổ hợp tương ứng.

Quy tắc đếm trong tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị

Ngoài nội dung các bài tập hoán vị chỉnh hợp tổ hợp và mối quan hệ giữa các phép toán, bạn cũng cần biết các quy tắc đếm chúng. Dưới đây là tổng hợp kiến thức về quy tắc đếm tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị mà bạn nên tham khảo:

Quy tắc đếm tổ hợp

Giả sử ta có một tập hợp A gồm n phần tử (với n >0 ), một tổ hợp chập k bất kỳ của tập hợp này là một tập con có k phần tử, trong đó kn; k N

=> Số tổ hợp đếm được sẽ bằng: n!(n-k)!

Bài toán ví dụ: Tính số tổ hợp chập 3 của 5 ta thu được kết quả  =5!(5-3)! =240 .

Quy tắc đếm chỉnh hợp

Giả sử ta có một tập hợp A gồm n phần tử (với n 1 ), một chỉnh hợp chập k bất kỳ của tập hợp này là cách sắp xếp k phần tử, trong đó 1 kn; k N

=> Số chỉnh hợp đếm được sẽ bằng: n!k!(n-k)!

Bài toán ví dụ: Tính số chỉnh hợp chập 3 của 5 ta thu được kết quả  =5!3!(5-3)! =1440 .

Quy tắc đếm hoán vị

Với tập hợp gồm n phần tử khác nhau, hoán vị của r phần tử là cách sắp xếp r phần tử đó theo một thứ tự nhất định. Khi đó:

• Nếu r=n thì số hoán vị đếm được sẽ bằng: P(n)=n! 
• Nếu r

Bài toán ví dụ: Tính số hoán vị của 3 phần tử trong tập hợp gồm 4 phần tử ta thu được kết quả =4!(4-3)! =24.

Như vậy trong nội dung bài viết trên, Sforum đã giới thiệu đến bạn chỉnh hợp là gì và bài tập toán về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp cơ bản nhất. Hãy tham khảo thật kỹ các công thức tính, quy tắc đếm và mối quan hệ giữa ba phép toán này để áp dụng và giải các bài tập dạng xác suất thống kê bạn nhé.