Dấu của tam thức bậc hai - Cách xét dấu & Bài tập vận dụng

Dấu của tam thức bậc hai là một trong những nội dung quan trọng trong đại số, giúp xác định khoảng giá trị của hàm số và giải quyết các bài toán bất phương trình bậc hai. Việc nắm vững cách xét dấu hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập. Bên cạnh đó, đây còn là công cụ hữu ích khi ứng dụng vào các bài toán thực tế. Bài viết này của Sforum sẽ hướng dẫn chi tiết cách xét dấu của tam thức bậc hai gửi đến bạn tham khảo.

Định nghĩa về tam thức bậc hai

Một tam thức bậc hai là một biểu thức đại số có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát:

Trong đó a,b,c là các hằng số với a≠0 và x là biến số.

Tam thức bậc hai xuất hiện phổ biến trong nhiều lĩnh vực toán học, từ đại số đến hình học và ứng dụng thực tế như vật lý, kinh tế, kỹ thuật. Đặc trưng của nó nằm ở bậc cao nhất là bậc hai, tạo nên đồ thị hình parabol khi biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Để xác định hình dạng và vị trí của một đường parabol, chúng ta cần xem xét các hệ số a, b và c trong phương trình của nó. Cụ thể, dấu của hệ số a quyết định hướng mở của parabol: hướng lên trên nếu a > 0 và hướng xuống dưới nếu a < 0. Nghiên cứu tam thức bậc hai không chỉ giúp giải phương trình mà còn hỗ trợ trong việc tìm cực trị, phân tích dấu của biểu thức, và ứng dụng vào các bài toán thực tiễn.

Hiện nay, trên Google có rất nhiều bài tập online giúp bạn vận dụng tối đa lý thuyết vào các dạng đề tam thức bậc hai. Và một chiếc laptop sinh viên chắc chắn là trợ thủ đắc lực không thể thiếu. Đến ngay cửa hàng CellphoneS để chọn mua mẫu laptop ưng ý nhất và nhận ngay những ưu đãi hấp dẫn nhé!

[Product_Listing categoryid="1054" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop/sinh-vien.html" title="Tham khảo danh sách laptop sinh viên được quan tâm tại CellphoneS!"]

Khái niệm dấu của tam thức bậc hai lớp 10

Trong toán học, dấu của tam thức bậc hai lớp 10 phản ánh cách biểu thức này thay đổi trên trục số thực. Xét tam thức bậc hai tổng quát:

Xét từng trường hợp:

Hướng dẫn cách xét dấu tam thức bậc hai

Việc thực hiện cách xét dấu của tam thức bậc hai là một bước không thể thiếu trong quá trình giải toán, giúp chúng ta khoanh vùng các giá trị mà tại đó biểu thức mang dấu dương hoặc âm. Để thực hiện, ta áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai theo trình tự sau:

Bước 1:Tam thức bậc hai có dạng tổng quát:

Tính biệt thức ∆ theo công thức:

Bước 2: Dấu của ∆ quyết định số nghiệm của phương trình f(x)=0, từ đó ảnh hưởng đến cách xét dấu của tam thức bậc hai lớp 10.

• Nếu Δ>0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
• Nếu Δ=0, phương trình có nghiệm kép x0.
• Nếu Δ<0, phương trình vô nghiệm.

Bước 3:

Hệ số a quyết định chiều hướng của parabol:

• Nếu a>0, parabol bề lõm hướng lên, nhánh đi lên.
• Nếu a<0, parabol bề lồi hướng xuống, nhánh đi xuống.

Bước 4: 

Chúng ta sẽ sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai như một công cụ để giải quyết bài toán.

• Khi Δ>0, dấu của f(x) thay đổi tại hai nghiệm x1,x2 tạo ba khoảng xét dấu. Nếu a>0, dấu dương nằm ngoài hai nghiệm, dấu âm nằm giữa hai nghiệm. Nếu a<0, dấu âm nằm ngoài và dấu dương nằm giữa. 
• Trong trường hợp Δ = 0, dấu của hàm số f(x) là không đổi trên toàn bộ tập số thực, và nó sẽ cùng dấu với hệ số a, ngoại trừ tại điểm nghiệm kép.
• Khi Δ<0, tam thức không có nghiệm thực, dấu của f(x) luôn giống với a.

Cách ứng dụng dấu của tam thức bậc hai

Trong toán học, bài tập dấu của tam thức bậc hai là một công cụ hữu hiệu để giải quyết một loạt các dạng toán, trong đó nổi bật là các bài toán về bất phương trình bậc hai. Ta có các nhận xét sau:

• Nếu Δ>0, toán 10 dấu của tam thức bậc hai có cả dấu dương và âm trên tập số thực.
• Nếu Δ≤0, tam thức chỉ mang một dấu duy nhất (luôn dương hoặc luôn âm).

Bảng xét dấu là công cụ hữu ích giúp chúng ta xác định các khoảng giá trị của biến số thỏa mãn một điều kiện cho trước.

Hàm số: 

Đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định bởi nghiệm.

Tính khoảng thời gian, khoảng cách, vận tốc trong các bài toán vật lý hoặc tối ưu hóa.

Tổng hợp bài tập vận dụng về dấu của tam thức bậc hai

Sau khi nắm vững lý thuyết về dấu của tam thức bậc hai và cách xét dấu, các bài toán vận dụng sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài. Dưới đây là một số bài tập dấu của tam thức bậc hai giúp bạn áp dụng hiệu quả các nguyên tắc đã học vào thực tế.

Câu 1: Biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai?

Đáp án đúng: C

Đáp án A, D là nhị thức bậc nhất.

Đáp án B là đa thức bậc ba.

Đáp án C là tam thức bậc hai vì có dạng.

Câu 2: Tìm điều kiện của m

1. m<3
2. m>3
3. m≥3
4. m≤3

Đáp án đúng: B

Câu 3: Xác định tập nghiệm của bất phương trình 

Việc hiểu rõ dấu của tam thức bậc hai giúp bạn phân tích biểu thức một cách chính xác. Từ đó dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình và khoảng giá trị của hàm số. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững phương pháp xét dấu và có thể áp dụng linh hoạt vào thực tiễn. Đừng quên bỏ túi thêm nhiều công thức toán học mới tại Sforum nhé!