Lý thuyết & Bài tập về tìm điểm cực trị trong môn Toán 12

Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp học sinh hiểu rõ về sự thay đổi của hàm số và ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế. Bài viết này của Sforum sẽ cung cấp cho bạn đầy đủ lý thuyết và phương pháp giúp bạn giải các bài tập điểm cực trị một cách chính xác nhất. 

Cực trị của hàm số là gì?

Cực trị hàm số là các điểm mà tại đó hàm số thay đổi xu hướng tăng hoặc giảm, tạo thành các đỉnh hoặc đáy trên đồ thị. Đây là những điểm đặc biệt mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không xác định, đồng thời thể hiện sự thay đổi chiều biến thiên của hàm số. 

Cho hàm số f được xác định trên tập D (tập con của tập số thực) và x₀ là một điểm thuộc D.

• x₀ được gọi là điểm cực đại nếu tồn tại một khoảng chứa x₀ sao cho f(x) < f(x₀). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
• x₀ được gọi là điểm cực tiểu nếu tồn tại một khoảng chứa x₀ sao cho f(x) > f(x₀). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Lưu ý:

• Điểm cực đại, cực tiểu gọi là điểm cực trị. Giá trị cực đại và cực tiểu gọi là cực trị. Một hàm số có thể có nhiều điểm cực trị trên tập xác định.
• Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) không nhất thiết là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên toàn bộ tập xác định. Nó chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trên một khoảng mở (a; b) chứa x₀.
• Nếu x₀ là một điểm cực trị của hàm số f, thì điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Tổng quan lý thuyết về cực trị trong Toán 12

Để hiểu rõ về cực trị trong Toán 12, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và định lý quan trọng liên quan. Cùng Sforum tìm hiểu về những kiến thức dưới đây, nó không chỉ giúp tìm điểm cực trị của hàm số mà còn hỗ trợ trong việc phân tích đồ thị và giải quyết các bài toán tối ưu.

Các định lý liên quan đến cực trị

Trong chương trình Toán 12, có nhiều định lý quan trọng giúp tìm số điểm cực trị của hàm số một cách chính xác. Dưới đây là 3 định lý quan trọng bạn cần biết:

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀. Nếu đạo hàm của f tồn tại tại x₀, thì f’(x₀) = 0.

Lưu ý:

• Việc đạo hàm f' bằng 0 tại x₀ không đảm bảo rằng f đạt cực trị tại x₀.
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của nó không xác định.

Định lý 2: 

• Nếu đạo hàm f'(x) chuyển từ âm sang dương khi x tăng qua điểm x₀, thì hàm số f(x) đạt giá trị cực tiểu tại x₀. 

• Ngược lại, nếu đạo hàm f'(x) chuyển từ dương sang âm khi x tăng qua điểm x₀, thì hàm số f(x) đạt giá trị cực đại tại x₀. 

Định lý 3: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên một khoảng mở chứa x₀, và đồng thời thỏa mãn f'(x₀) = 0 và f''(x₀) ≠ 0, thì x₀ là điểm cực trị của hàm số.

• Nếu giá trị đạo hàm cấp hai tại x₀ âm (f''(x₀) < 0), thì hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.
• Nếu giá trị đạo hàm cấp hai tại x₀ dương (f''(x₀) > 0), thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.
• Nếu giá trị đạo hàm cấp hai tại x₀ bằng 0 (f''(x₀) = 0), thì không thể kết luận và cần phải dùng bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu để kiểm tra sự biến thiên.

Số điểm cực trị của hàm số

Số lượng cực trị thay đổi tùy theo đặc tính của từng hàm số. Chẳng hạn, một số hàm số không có cực trị, hàm số bậc hai luôn có một điểm cực trị, và hàm số bậc ba có khả năng sở hữu hai điểm cực trị.

Lưu ý:

• Các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị cao nhất (cực đại) hoặc thấp nhất (cực tiểu) trong một khoảng nhỏ được gọi là điểm cực trị. Giá trị của hàm số tại các điểm này được gọi là giá trị cực trị.
• Giá trị của hàm số tại một điểm cực trị không nhất thiết là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định. Nó chỉ là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với các điểm lân cận trong một khoảng nhỏ xung quanh điểm đó.
• Nếu x₀ là một điểm cực trị của hàm số f, thì điểm (x₀; f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Nếu bạn đang ôn tập Toán 12 và cần một công cụ hỗ trợ hiệu quả trong việc tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số, thì một chiếc laptop có hiệu năng tốt sẽ giúp bạn tính toán nhanh chóng và chính xác hơn. Hãy tham khảo ngay các mẫu laptop chất lượng tại CellphoneS, nơi cung cấp đa dạng sản phẩm phù hợp với nhu cầu học tập và làm việc của bạn!

[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Điều kiện để hàm số có điểm cực trị

Điều kiện cần: Nếu hàm số f có cực trị tại x₀ và có đạo hàm tại điểm đó, thì đạo hàm của f tại x₀ phải bằng 0.

Lưu ý:

• Việc đạo hàm f' bằng 0 tại x₀ không đảm bảo rằng f đạt cực trị tại x₀.
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm không tồn tại.
• Tại điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0, hàm số có thể đạt cực trị hoặc không có cực trị.
• Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x₀; f(x₀)) và hàm số đạt cực trị tại x₀, thì tiếp tuyến đó sẽ song song với trục hoành.

Điều kiện đủ: Giả sử hàm số f có đạo hàm xác định trên hai khoảng (a; x₀) và (x₀; b), đồng thời liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀.

• Một điểm x₀ được coi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu đạo hàm của f thay đổi dấu từ âm sang dương khi x tăng qua x₀. Minh họa:

• Một điểm x₀ được coi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu đạo hàm của f thay đổi dấu từ dương sang âm khi x tăng qua x₀. Minh họa:

Phương pháp tìm điểm cực trị của hàm số

Để tìm điểm cực trị của hàm số, chúng ta cần áp dụng các quy tắc và phương pháp xác định dựa vào đạo hàm. Có hai quy tắc phổ biến giúp xác định cực trị của một hàm số. Hãy cùng Sforum tìm hiểu chi tiết về hai quy tắc tìm ra các điểm mà tại đó hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu nhé!

Quy tắc 1 để tìm cực trị

Để tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số, có rất nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, để giúp thuận tiện và chính xác bạn có thể tham khảo ngay quy tắc 1 để tìm cực trị dưới đây:

• Bước 1: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
• Bước 2: Tìm tất cả các điểm xᵢ mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0, hoặc những điểm mà tại đó hàm số f(x) liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm f'(x). Nếu đạo hàm f'(x) thay đổi dấu khi x đi qua điểm x₀, thì hàm số f(x) đạt cực trị tại x₀.

Quy tắc 2 để tìm cực trị

Bên cạnh tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số theo quy tắc trên, vẫn còn cách khác để thực hiện. Hãy cùng Sforum điểm qua các bước trong quy tắc 2 này để giải các bài tập điểm cực trị:

• Bước 1: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
• Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các nghiệm xᵢ.
• Bước 3: Tính đạo hàm cấp hai f''(x).
• Bước 4: Thay từng nghiệm xᵢ vào f''(x):
  • Nếu f''(xᵢ) < 0, thì xᵢ là điểm cực đại của hàm số f(x).
  • Nếu f''(xᵢ) > 0, thì xᵢ là điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Cách giải các dạng bài tập về cực trị

Sau khi nắm vững lý thuyết và phương pháp tìm số điểm cực trị của hàm số, việc luyện tập với các dạng bài tập cụ thể sẽ giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Dưới đây là một số dạng bài tập quan trọng và phương pháp giải tương ứng.

Dạng bài tập tìm điểm cực trị của hàm số

Dưới đây là dạng bài tập cơ bản và quan trọng trong chương trình giải tích lớp 12, liên quan đến việc xác định các điểm cực trị của hàm số.

Cực trị hàm số bậc hai

Hàm số có dạng: y = ax² + bx + c (với a khác 0) và tập xác định R. Đạo hàm y' = 2ax + b.

• Đạo hàm y' đổi dấu tại điểm x₀ = -b2a.
• Hàm số đạt cực trị tại điểm x₀ = -b2a.

Cực trị hàm số bậc ba

Hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (với a khác 0) và tập xác định R. Đạo hàm y' = 3ax² + 2bx + c. Ta có: Δ' = b² - 3ac.

• Nếu Δ' ≤ 0, y' không đổi dấu, không có cực trị.
• Nếu Δ' > 0, y' đổi dấu hai lần, có hai điểm cực trị.

Cực trị hàm số bậc 4

Hàm số y = ax⁴ + bx² + c (với a khác 0) và tập xác định là R. Đạo hàm: y' = 4ax³ + 2bx 

Khi y' = 0, ta có:

• x = 0
• 2ax² + b = 0 tương đương x² =  -b2a

Nếu -b2a ≤ 0 hay b2a ≥ 0, thì y' chỉ đổi dấu một lần tại x = 0, cực trị tại x = 0.

Nếu -b2a < 0 hay b2a > 0, thì y' đổi dấu ba lần, có ba điểm cực trị.

Cực trị hàm số lượng giác

Để tìm cực trị hàm số lượng giác, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định tập xác định.
• Bước 2: Tính y' = f'(x). Giải phương trình y' = 0, giả sử x₀ là một nghiệm.
• Bước 3: Tính đạo hàm cấp hai y''.
• Bước 4: Tính y''(x₀) và dùng định lý đạo hàm cấp hai để kết luận về cực trị.

Bài toán cực trị có điều kiện cho trước

Để giải quyết các bài toán tìm cực trị khi hàm số có thêm các điều kiện kèm theo, ta cần tuân theo một quy trình tổng quát như sau:

• Bước 1: Xác định miền giá trị hợp lệ của hàm số.
• Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x).
• Bước 3: Kiểm tra lại bằng cách áp dụng một trong hai quy tắc tìm cực trị đã học. Từ kết quả, ta sẽ xác định các giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Xác định số điểm cực trị bằng phương pháp đặc biệt

Khi giải quyết các bài toán yêu cầu biện luận về số lượng điểm cực trị dựa trên tham số m, ta cần phân loại hàm số thành hai dạng chính để áp dụng phương pháp giải phù hợp. Cụ thể:

 

Xét cực trị của hàm số bậc 3: Cho y = ax³ + bx² + cx + d (với a khác 0). Đạo hàm: y' = 3ax² + 2bx + c. Xét y' = 0 (1) và Δ' = b² - 3ac.

• Nếu phương trình đạo hàm cấp một có nghiệm duy nhất hoặc không có nghiệm thực, hàm số sẽ không có điểm cực trị. Điều này tương ứng với Δ' = b² - 3ac ≤ 0.
• Nếu phương trình đạo hàm cấp một có hai nghiệm phân biệt, hàm số sẽ có hai điểm cực trị. Điều này sẽ tương ứng với khi Δ' = b² - 3ac > 0.

Xét cực trị của hàm số bậc 4: Cho hàm y = ax⁴ + bx² + c (với a khác 0). Đạo hàm y' = 4ax³ + 2bx. Cho y' = 0.

• Phương trình y' = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và đồ thị hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi -b / (2a) ≤ 0, tương đương với ab ≥ 0.
• Phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt và đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi -b / (2a) > 0, tương đương với ab < 0.

Tìm số điểm cực trị của hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp học sinh hiểu sâu hơn về sự thay đổi của đồ thị và ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế. Việc rèn luyện với các bài tập điểm cực trị không chỉ giúp củng cố kiến thức mà còn nâng cao kỹ năng giải toán một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này sẽ hỗ trợ bạn trong quá trình học tập và làm bài tập về nó một cách dễ dàng hơn!