Đơn thức là gì? Các bậc của đơn thức, các dạng bài thường gặp

Đơn thức là gì? Đây luôn là câu hỏi được xuất hiện đầu tiên với những ai đang vỡ lòng cùng toán đại số. Thực tế, đơn thức là một khái niệm cơ bản, đóng vai trò nền tảng cho việc nghiên cứu các biểu thức phức tạp hơn như đa thức, phương trình và hàm số. Bài viết giúp bạn tìm hiểu về bậc và hệ số đơn thức. Từ đó, bạn vận dụng vào việc thu gọn đơn thức một cách linh hoạt.

Đơn thức là gì?

Lý thuyết về đơn thức một khái niệm cơ bản trong đại số, đóng vai trò nền tảng cho việc nghiên cứu các biểu thức phức tạp hơn như đa thức, phương trình và hàm số. Đơn thức được định nghĩa là biểu thức toán học chỉ bao gồm một số, một biến hoặc tích của các số và biến. Nói cách khác, đơn thức là một biểu thức đại số chỉ có phép toán nhân giữa các số và các biến.

Ví dụ:

• 3 là một đơn thức (chỉ có một số).
• x là một đơn thức (chỉ có một biến).
• 5xy là một đơn thức (tích giữa số 5 và các biến x, y).
• -2x²y³ là một đơn thức (tích giữa số -2 và các biến x, y).

Trong một đơn thức, gồm 2 phần là hệ số gồm các số, phần biến gồm các biến và số mũ. Ví dụ, ở biểu thức sau: -2x²y³, hệ số là -2, phần biến là x²y³.

Đơn thức thu gọn

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Đây là một đơn thức quan trọng bạn cần nhớ.

Ví dụ:

• 2xy³ hay -5x²z đều thuộc về đơn thức thu gọn.
• 7x⁻²y không phải là đơn thức thu gọn (vì số mũ của x là -2, không phải số mũ nguyên dương).

Đơn thức đồng dạng

Trong đại số, hai đơn thức được xem là cùng dạng nếu chúng chia sẻ cùng một phần biến và có hệ số khác không.

Ví dụ:

• 3xy² và -7xy² là đơn thức đồng dạng vì có cùng phần biến là xy².
• 5x²y và 3xy² không phải đơn thức đồng dạng vì phần biến khác nhau.

Với tính chất riêng biệt, đơn thức 0 có thể xem như đồng dạng với bất kỳ đơn thức nào. Khái niệm đơn thức đồng dạng rất quan trọng trong việc thực hiện các phép toán cộng và trừ đơn thức, theo dõi tiếp bài viết để rõ hơn vấn đề này.

Để tiếp tục mở rộng con đường tìm tòi kiến thức toán học, hãy tìm hiểu ngay về cửa hàng trực tuyến CellphoneS.Tại đây, bạn sẽ tìm thấy những chiếc điện thoại thông minh với cấu hình mạnh mẽ, dung lượng pin lớn, lý tưởng để cài đặt các ứng dụng học tập, tra cứu thông tin về đơn thức, thực hành giải bài tập và khám phá thêm nhiều kiến thức bổ ích khác.

[Product_Listing categoryid="3" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/mobile.html" title="Danh sách điện thoại đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Các bậc của đơn thức

Bậc có nhiệm vụ quan trong việc phân loại và so sánh các đơn thức. Cụ thể, với những đơn thức có hệ số khác 0, bậc được tính bằng cách cộng tất cả số mũ của các biến.

Ví dụ:

• Đơn thức 7x³y²z có bậc là 3 + 2 + 1 = 6.
• Đơn thức -9x⁴ có bậc là 4.
• Đơn thức 5 có bậc là 0 (vì nó không mang theo biến nào).

Một lần nữa, số 0 có vị trí đặc biệt vì nó không có bậc nên được xem là đơn thức. Bậc của đơn thức có ý nghĩa quan trọng trong việc sắp xếp các hạng tử trong đa thức và xác định bậc của đa thức.

Cách tính đơn thức là gì?

Cụm từ "cách tính đơn thức" mang ý nghĩa khá rộng, chỉ chung các phép toán có thể áp dụng lên đơn thức. Mỗi bài toán sẽ có những đặc điểm khác nhau để bạn sử dụng phép tính phù hợp. Sau đây là một số ví dụ về các phép toán thường gặp khi làm việc với đơn thức.

Cách nhân đơn thức với đơn thức

Phép nhân hai đơn thức được thực hiện bằng cách nhân các hệ số của chúng với nhau và nhân các phần biến tương ứng. Cụ thể, khi nhân các phần biến, ta áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: x^m * x^n = x^(m+n).

Ví dụ 1: (3x²y) . (-2xy³) = [3 . (-2)] . (x² . x) . (y . y³) = -6x³y⁴

Ví dụ 2: (-5a²b³c) . (⅔ ab²c⁴) . (-0,4a³b) = [(-5) . (⅔) . (-0,4)] . (a² . a . a³) . (b³ . b² . b) . (c . c⁴) = 4/3 a⁶b⁶c⁵

Ví dụ 3: (2x²y³z)³ . (- ½ xy²z²)² = 8x⁶y⁹z³ . (¼)x²y⁴z⁴ = 2x⁸y¹³z⁷

Cách trừ đơn thức 

Cộng trừ đơn thức cũng giống như cộng trừ các loại quả với nhau, bạn chỉ có thể cộng trừ những quả cùng loại. Vì vậy, chỉ khi các đơn thức đồng dạng, tức là có cùng phần biến - "đơn vị đo lường", mới có thể thực hiện phép cộng trừ trên hệ số - "số lượng". Kết quả của phép toán sẽ giữ nguyên "đơn vị đo lường" và chỉ thay đổi "số lượng".

Ví dụ 1: 5x²y + 3x²y = (5 + 3)x²y = 8x²y

Ví dụ 2: 7a²b³ - 4a²b³ = (7 - 4)a²b³ = 3a²b³

Ví dụ 3: 2xy² + 3x²y - 5xy² = (2 - 5)xy² + 3x²y = -3xy² + 3x²y (không thể rút gọn further vì -3xy² và 3x²y không đồng dạng). Với dạng bài này, hãy cộng trừ các đơn thức có cùng phần biến xy².

Cách chia đơn thức cho đơn thức

Khi A chia hết cho B, phép chia đơn thức A cho đơn thức B được thực hiện như sau: lấy hệ số của A chia cho hệ số của B, sau đó lấy lũy thừa của mỗi biến trong A chia cho lũy thừa của biến tương ứng trong B theo công thức x^m : x^n = x^(m-n).

Ví dụ 1: (8x³y²) : (2xy) = (8 : 2) . (x³ : x) . (y² : y) = 4x²y

Ví dụ 2: (-15a⁴b⁵c³) : (3a²b³c) = (-15 : 3) . (a⁴ : a²) . (b⁵ : b³) . (c³ : c) = -5a²b²c²

Ví dụ 3: (12x⁵y³z⁴) : (-4x²yz²) = (12 : (-4)) . (x⁵ : x²) . (y³ : y) . (z⁴ : z²) = -3x³y²z²

Cách chia đa thức cho đơn thức

Phép chia đa thức cho đơn thức được thực hiện bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức, sau đó cộng các kết quả thu được. Hãy hình dung đa thức như một "tập hợp" của các đơn thức, và việc chia đa thức cho đơn thức giống như việc "phân phát" đều đơn thức đó cho từng thành viên trong tập hợp.

Ví dụ 1: (6x³y² - 4x²y + 2xy) : (2xy) = (6x³y² : 2xy) - (4x²y : 2xy) + (2xy : 2xy) = 3x²y - 2x + 1. Ở đây, ta lần lượt chia từng hạng tử 6x³y², -4x²y và 2xy cho đơn thức 2xy.

Ví dụ 2: (10a⁴b³c² - 5a³b²c + 15a²bc³) : (5abc) = (10a⁴b³c² : 5abc) - (5a³b²c : 5abc) + (15a²bc³ : 5abc) = 2a³b²c - a²b + 3ac². Tương tự, ta chia mỗi hạng tử của đa thức (10a⁴b³c² - 5a³b²c + 15a²bc³) cho đơn thức 5abc.

Lưu ý rằng, phép chia đa thức cho đơn thức chỉ thực hiện được khi bậc của mỗi hạng tử trong đa thức đều lớn hơn hoặc bằng bậc của đơn thức.

Cách thu gọn đơn thức

Khi bạn thấy một đơn thức quá dài và muốn thu gọn, hãy ghi nhớ những bước sau để thực hành:

• Nhân các hệ số với nhau. Các hệ số là những con số đứng trước các biến, việc nhân chúng với nhau tuân theo quy tắc nhân số học thông thường.
• Để nhân các phần biến với nhau, ta cộng các số mũ tương ứng của từng biến. Việc này dựa trên quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: xᵐ . xⁿ = x⁽ᵐ⁺ⁿ⁾.

Nói một cách hình tượng, việc thu gọn đơn thức giống như việc sắp xếp lại một căn phòng. Ta gom những vật dụng giống nhau lại với nhau để căn phòng trở nên gọn gàng hơn.

Ví dụ 1: Thu gọn đơn thức 2x²y . (-3xy³) . (-x)

Ta có: 2x²y . (-3xy³) . (-x) = [2 . (-3) . (-1)] . (x² . x . x) . (y . y³) = 6x⁴y⁴

Ví dụ 2: Thu gọn đơn thức (-½ a²b³) . (⅘ ab²) . (-8a³b)

Ta có: (-½ a²b³) . (⅘ ab²) . (-8a³b) = [(-½) . (⅘) . (-8)] . (a² . a . a³) . (b³ . b² . b) = 4a⁶b⁶

Các dạng toán thường gặp

Sau khi nhuần nhuyễn lý thuyết về đơn thức, bạn tiếp tục luyện tập với việc nhận biết được đơn thức và áp dụng vào cách tính giá trị một hoặc nhiều đơn thức. Hãy tiếp tục ghi chép các thông tin kế đến bạn nha.

Nhận biết đơn thức

Để nhận biết đơn thức, ta dựa vào định nghĩa: chỉ chứa phép nhân giữa số và biến có số mũ nguyên dương. Biểu thức chứa phép cộng, trừ, chia cho biến, hoặc số mũ âm, phân số đều không phải là đơn thức.

Ví dụ:

• 3xy² là đơn thức (chỉ chứa phép nhân giữa số và các biến).
• 2x + y không là đơn thức (vì nó có phép cộng).
• 3/x không phải là đơn thức (vì biến x nằm ở mẫu số, tương đương với x⁻¹).
• 5x√y không phải là đơn thức (vì √y tương đương với y^(½), số mũ của biến y không phải là số nguyên dương).

Tính giá trị của đơn thức

Để tính giá trị của một đơn thức, ta cần thay giá trị biến vào và thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự ưu tiên: lũy thừa, nhân chia, cộng trừ. Cần đặc biệt chú ý đến dấu của các số, nhất là khi gặp số mũ và số âm, tránh sai sót dẫn đến kết quả không đúng.

Ví dụ 1: Xác định giá trị đơn thức: 2x²y tại x = -1, y = 2.

Thay x = -1, y = 2 vào đơn thức, ta được: 2 . (-1)² . 2 = 2 . 1 . 2 = 4

Ví dụ 2: Xác định giá trị đơn thức: -3a²b³c tại a = 2, b = -1, c = 0.

Thay a = 2, b = -1, c = 0 vào đơn thức, ta được: -3 . 2² . (-1)³ . 0 = 0. Lưu ý rằng, bất kỳ đơn thức nào nhân với 0 đều bằng 0.

Tìm tích các đơn thức

Để tìm tích của các đơn thức, hãy nhân các đơn thức với nhau theo quy tắc nhân đơn thức đã trình bày ở trên. Để tính tích của hai đơn thức, trước hết ta nhân các hệ số của chúng. Sau đó, ta nhân các phần biến với nhau, nhớ rằng cần cộng số mũ của các biến giống nhau.

Ví dụ: Tìm tích của các đơn thức 3xy², -2x²y và ½ xy

Ta có: 3xy² . (-2x²y) . ½ xy = [3 . (-2) . ½] . (x . x² . x) . (y² . y . y) = -3x⁴y⁴

Phép nhân các đơn thức có tính chất giao hoán và kết hợp, nghĩa là có thể thay đổi thứ tự của các đơn thức và nhóm chúng theo ý muốn mà không làm thay đổi kết quả. 

Như vậy, bạn vừa qua một hành trình thú vị về câu trả lời cho đơn thức là gì? Từ những khái niệm cơ bản tại bậc và hệ số đơn thức cho đến cách thu gọn đơn thức. Giờ đây bạn đã nắm vững lý thuyết về đơn thức nên đừng quên luyện tập mỗi ngày để nâng cao kỹ năng làm bài của mình. Hãy ghé thăm Sforum để có thêm thông tin toán học và kiến thức giáo dục khác bạn nha.

Xem thêm bài viết trong chuyên mục: Góc Học & Dạy 4.0