Đường trung trực là gì? Các tính chất và bài tập áp dụng
Kiến thức toán về tính chất, cách chứng minh đường trung trực được nhiều bạn học sinh quan tâm. Bài viết sau không chỉ cung cấp khái niệm giao điểm của 3 đường trung trực là gì, mà còn bổ sung ví dụ giúp bạn nắm chắc kiến thức. Bạn đừng bỏ qua bài chia sẻ dưới đây của Sforum nếu muốn giải quyết các dạng bài tập về đường thẳng này nhé!
Đường trung trực là gì?
Đường trung trực chính là đường thẳng đi qua và vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó. Hay nói cách khác, đường thẳng này vừa vuông góc, vừa chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
Ví dụ: Gọi x là đường thẳng đi qua đoạn CD, điểm H là trung điểm của CD. Nếu x vuông góc với CD tại trung điểm H thì x chính là đường trung trực của đoạn CD.
Laptop là công cụ hỗ trợ học tập hữu ích, giúp bạn tra cứu kiến thức nhanh chóng, tìm thêm được nhiều bài tập thú vị,… Tuy nhiên, bạn chưa biết chọn mua laptop chính hãng tại đâu giá tốt, nhiều ưu đãi? Hãy ghé ngay CellphoneS để tham khảo, chọn lựa những dòng laptop mới nhất bạn nhé!
[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]
Các tính chất của đường trung trực
Để hình thành các cách chứng minh đường trung trực, trước hết, bạn cần nắm được các tính chất của đường thẳng này. Dưới đây là những tính chất của đường thẳng này đối với đoạn thẳng và trong tam giác, bạn hãy tham khảo nhé.
Đường trung trực của một đoạn thẳng
Chỉ có một đường thẳng trung trực duy nhất là trục đối xứng của đoạn thẳng và chúng có tính chất như sau: Mọi điểm nằm trên (thuộc) đường này đều cách đều 2 đầu của đoạn thẳng và ngược lại.
Ví dụ:
- Nếu đường thẳng x là trung trực của AI, H thuộc x => HA = HI.
- Nếu HA = HI, x là trung trực của AI => H thuộc đường thẳng x.
Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Mỗi tam giác chỉ có duy nhất một giao điểm của 3 đường trung trực và giao điểm này có tính chất như sau: Cắt nhau tại 1 điểm, điểm này cách đều các đỉnh của tam giác đó. Giao điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Ví dụ: Gọi I là giao điểm của các trung trực trong tam giác MNQ, dựa theo tính chất đã biết ta có: IM = IN = IQ.
Đường trung trực của tam giác cân
Tính chất đường trung trực của tam giác cân đó là: Đường thẳng này cũng chính là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác kéo dài từ đỉnh xuống cạnh đối diện.
Ví dụ: Cho tam giác cân XYZ, đoạn thẳng YZ có trung điểm là P, m là một trong ba trung trực của XYZ. Dựa theo tính chất trên ta có m chính là đường phân giác của góc YXZ (hay góc YXP = góc ZXP).
Đường trung trực của tam giác vuông
Ta có giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác vuông chính là trung điểm của cạnh huyền.
Ví dụ: Cho tam giác vuông IMD, H là trung điểm của cạnh huyền ID, x và y lần lượt là các đường thẳng trung trực của cạnh MD và MI. Dựa theo tính chất trên, x và y cắt nhau tại trung điểm H của ID.
Các dạng toán liên quan đến đường trung trực
Dựa theo tính chất, khái niệm đường trung trực là gì mà thầy cô có thể đưa ra nhiều đề bài tập khác nhau. Dưới đây là những dạng toán liên quan hay gặp đến đường thẳng này, bạn hãy tham khảo và note lại nhé!
Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Đây là dạng bài thường yêu cầu chứng minh một điểm thuộc (nằm trên) đường thẳng. Hoặc chứng minh một đường thẳng nào đó là đường thẳng trung trực của một đoạn thẳng bất kì.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng MQ, dựng các tam giác PMQ cân tại P, tam giác IMQ cân tại I sao cho P, I nằm khác phía so với MQ. Chứng minh rằng: PI là đường thẳng trung trực của MQ.
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Đây cũng là dạng bài tập hay gặp liên quan đến đường thẳng trung trực, có nhiều cấp độ ra đề khác nhau. Đề bài sẽ cho biết trước đường trung trực, dựa theo tính chất để chứng minh các đoạn thẳng hoặc hình học bằng nhau.
Ví dụ: Cho góc xYz, lấy điểm K trên Yx và điểm H trên Yz. Lấy điểm I sao cho YH là trung trực của KI. Chứng minh: tam giác YKH = tam giác YIH.
Dạng toán về giá trị nhỏ nhất
Dạng toán này kết hợp các tính chất đường trung trực cùng với bất đẳng thức trong tam giác. Đề bài thường yêu cầu tìm điểm để đoạn thẳng hoặc tổng hai đoạn thẳng có giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ: Cho 2 điểm K, Q và đường thẳng y (K, Q nằm cùng một phía). Xác định điểm I thuộc đường thẳng y sao cho IK + IQ có giá trị nhỏ nhất nhỏ nhất.
Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng bài này chủ yếu áp dụng tính chất giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác. Bài tập đưa ra có thể là xác định tâm hoặc tìm độ dài cạnh dựa vào bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Ví dụ: Tam giác ABC biết rằng cạnh AB có độ dài 4a, góc A vuông. Và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2,5a. Yêu cầu tìm độ dài cạnh AC cạnh theo a.
Dạng toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân
Đây không phải dạng toán phức tạp nhưng bạn cần ghi nhớ tính chất của đường thẳng này trong tam giác cân để làm bài. Đề bài của dạng toán này thường yêu cầu chứng minh các điểm thẳng hàng, tìm độ dài cạnh, chứng minh tam giác bằng nhau,…
Ví dụ: Cho các tam giác cân lần lượt là IHM, DHM, KHM (trong đó HM là đáy chung). Chứng minh rằng các điểm I, D, K thẳng hàng.
Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông
Ở dạng toán này đề bài thường yêu cầu chứng minh tam giác vuông, tìm độ dài cạnh,…
Ví dụ: Cho tam giác ABC (góc B vuông) có độ dài các cạnh AB, BC lần lượt là 6cm và 8cm. Giao điểm của 3 trung trực trong tam giác vuông ABC gọi là điểm E. Yêu cầu tính độ dài các đoạn EA, EB, EC.
Một số bài tập áp dụng
Dưới đây là một số bài tập giúp bạn củng cố kiến thức, bạn hãy bắt tay vào luyện tập nhé.
Bài 1: Tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc A. Trên đoạn thẳng AC lấy điểm E biết rằng độ dài hai đoạn AE và AB bằng nhau. Hãy chứng minh:
- DB và DE là bằng nhau;
- Đường trung trực của BE là AD.
Lời giải:
- a) Xét tam giác AED và ABD ta có:
- Cạnh chung AD;
- Góc BAD = góc EAD;
- AB = AE.
Do đó: tam giác ABD = tam giác AED (c.g.c) => BD = DE
- b) Vì BD = DE; AB = AE nên D, A đều nằm trên đường trung trực của đoạn BE.
Từ đó => AD là đường trung trực của đoạn BE.
Bài 2: Tam giác ABC biết cạnh AC lớn hơn cạnh AB. Hãy xác định điểm D trên AC sao cho AC = DA + DB.
Lời giải:
Ta có: AC = AD + DC
Nên AC = DA + DB khi và chỉ khi DB = DC.
Hay D nằm trên trung trực của BC.
Như vậy vị trí D cần xác định chính là giao điểm của AC với đường trung trực của BC thì AC = DA + DB.
Trên đây là những kiến thức về tính chất, cách chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng và tam giác. Hi vọng cũng qua bài viết trên bạn đã nắm được giao điểm của 3 đường đường trung trực là gì. Đừng quên xem thêm những bài viết kiến thức toán hay khác tại Sforum bạn nhé!
Xem thêm những bài viết mới nhất tại chuyên mục: Giáo dục; Góc Học & Day 4.0.
Bình luận (0)