Đường trung tuyến là gì? Các tính chất quan trọng

Trong hình học phẳng, nhiều người thường thắc mắc về tính chất, công thức đường trung tuyến là gì khi mới bắt đầu học tập và nghiên cứu về hình tam giác. Việc nắm vững kiến thức về đường trung tuyến trong tam giác vuông, đều và cân sẽ giúp bạn giải quyết nhiều dạng toán phức tạp dễ dàng hơn. Hãy xem bài viết này trên Sforum để tìm hiểu thêm nhé!

Đường trung tuyến là gì?

Trong hình học phẳng thì đường trung tuyến chính là đường đi từ một đỉnh của tam giác đến vị trí trung điểm của một cạnh đối diện. Và điểm giao của 3 đường trung tuyến sẽ là trọng tâm của hình tam giác.

Đối với tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của góc cân không chỉ chia đôi cạnh đáy mà còn phân giác góc tại đỉnh. Còn đối với hình tam giác đều thì ba đường trung tuyến của nó vừa là đường phân giác, cũng vừa là đường cao và đường trung trực.

Trong không gian ba chiều, khái niệm đường trung tuyến là gì được mở rộng thành mặt phẳng trung tuyến trong một tứ diện. Đây là một mặt phẳng đi qua trung điểm của một cạnh bất kỳ và có thể song song hoặc vuông góc với các mặt chứa các cạnh tương ứng.

Trong quá trình học, laptop là công cụ hỗ trợ đắc lực cho bạn trong học tập. Hãy cùng tham khảo ngay các mẫu laptop hot nhất hiện nay tại CellphoneS để nhận được mức giá hấp dẫn nhất cùng chế độ bảo hành uy tín:

[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Các tính chất của đường trung tuyến

Đường trung tuyến trong tam giác khái niệm mà bạn cần phải biết trong hình học phẳng. việc hiểu rõ tính chất của đường này sẽ giúp bạn vận dụng hiệu quả trong việc giải các bài toán hình liên quan hay trong việc chứng minh các định lý về tam giác.

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

Tam giác vuông có một góc vuông (90°) và hai cạnh tạo nên góc vuông này vuông góc với nhau. Và một tính chất rất đặc trung của đường trung tuyến tam giác này là đường đi từ đỉnh của góc vuông đến vị trí trung điểm của cạnh huyền đối diện sẽ bằng ½ của cạnh huyền. 

Ngoài ra, nếu một tam giác có đường trung tuyến bằng nửa chiều dài của một cạnh, thì đó chính là tam giác vuông. Và nó vẫn giữ nguyên các đặc điểm cơ bản của đường trung tuyến, trong đó có việc chia tam giác thành những phần có diện tích tương đương nhau.

Đường trung tuyến trong tam giác cân

Trong tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đến vị trí trung điểm của cạnh đáy sẽ tạo với cạnh này một góc bằng 90 độ. Tính chất này làm cho tam giác được chia thành hai tam giác vuông đồng dạng có diện tích bằng nhau. Đồng thời, đường này cũng là đường phân giác và đường cao, góp phần tạo nên sự đối xứng tuyệt đối trong tam giác cân.

Đường trung tuyến trong tam giác đều

Trong tam giác đều, ba đường trung tuyến hội tụ tại trọng tâm, phân chia tam giác thành sáu phần nhỏ có diện tích tương đương. Mỗi đường trung tuyến cũng vừa là đường cao và đường phân giác, tạo ra sự đối xứng hoàn hảo. Và khi kẻ một đường thẳng từ một đỉnh bất kỳ đi qua trọng tâm của tam giác, nó sẽ chia hình này thành hai hình nhỏ có diện tích như nhau. 

3 định lý đường trung tuyến trong tam giác

Để hiểu rõ hơn về các đặc điểm và tính chất đường trung tuyến trong tam giác, chúng ta cần tham khảo một số định lý cơ bản. Các định lý này giúp chúng ta hiểu rõ mối quan hệ giữa các đường trung tuyến và trọng tâm, đồng thời chỉ ra cách chúng chia nhỏ diện tích của tam giác. Ba định lý của đường trung tuyến mà bạn cần phải nhớ gồm:

Định lý 1: Trong tam giác thì điểm hội tụ của ba đường trung tuyến sẽ là trọng tâm của hình. 

Định lý 2: Nếu đường trung tuyến chia hình tam giác thành 2 phần nhỏ bằng nhau về diện tích. Và 3 đường sẽ chia hình tam giác thành 6 phần nhỏ có diện tích như nhau. 

Định lý 3: Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh sẽ bằng ⅔ độ dài của đường trung tuyến đi từ đỉnh đó. 

Công thức tính đường trung tuyến

Dưới đây là công thức tính đường trung tuyến (ví dụ đối với tam giác ABC có đường trung tuyến đi từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh BC): 

Trong đó:

a, b, c là chiều dài của các cạnh trong tam giác.

m là độ dài của đường trung tuyến

Tương tự, ta có thể áp dụng công thức tương ứng để tính đường trung tuyến của các đỉnh B và C trong tam giác. Công thức này áp dụng định lý cosin, cho phép tính chính xác độ dài của các đường trung tuyến trong mọi loại tam giác.

• Theo dõi một số bài viết tại chuyên mục: Giáo dục; Góc Học & Day 4.0.

Một số bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho tam giác vuông ABC với ∠ABC=90 độ, các cạnh có độ dài lần lượt là a=6, b=8 và c=10 (với c là cạnh huyền). Bạn hãy tính độ lớn chiều dài của đường trung tuyến đi từ đỉnh A. 

Lời giải:

Tam giác ACB vuông nên ta áp dụng tính chất dành riêng cho loại hình này là độ dài của đường trung tuyến đi từ đỉnh đến trung điểm cạnh huyền sẽ bằng ½ cạnh huyền BC.

Do đó, độ dài đường trung tuyến m là: m=c/2=10/2=5

Bài tập 2: Tam giác ABC có độ dài của các cạnh là a=7, b=9 và c=10. Tính toán chiều dài của đường trung tuyến đi từ đỉnh A. 

Bài tập 3: Tam giác ABC là một tam giác đều với cạnh a=10. Tính toán độ dài đường trung tuyến.

Như vậy, chúng ta đã tìm hiểu kỹ về tính chất, công thức đường trung tuyến là gì cũng như các đặc điểm của nó. Đặc biệt, việc nắm vững đường trung tuyến trong tam giác vuông, đều và cân sẽ giúp bạn áp dụng linh hoạt vào nhiều bài toán khác nhau. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp bạn vận dụng hiệu quả khi giải những bài toán hình học liên quan.