Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cực chi tiết

Biết chính xác thông tin về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng vô cùng quan trọng với học sinh hiện nay. Để làm chủ được phần này, bạn cần hiểu rõ lý thuyết, nắm vững phương pháp giải, vận dụng linh hoạt vào bài tập trắc nghiệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài viết sau đây sẽ hướng dẫn chi tiết từng bước, giúp bạn tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan đến chủ đề này.

Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xử lý thành công các bài toán hình học không gian, việc đầu tiên và quan trọng nhất là phải nắm vững khái niệm về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc này thể hiện mối quan hệ giữa một đường thẳng và mặt phẳng, giúp chúng ta hình dung cũng như giải thích cách chúng tương tác trong không gian ba chiều. Hiểu rõ cách xác định và áp dụng góc này sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán hiệu quả.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn được tạo thành bởi đường thẳng và đường thẳng giao nhau với nó trong mặt phẳng. Để hiểu rõ hơn định nghĩa này, bạn có thể xem rõ hơn 2 trường hợp sau: 

Trường hợp 1: 

• Nếu mặt phẳng (P) vuông góc với d - đường thẳng, thì góc giữa d và (P) là 90⁰
• Trong trường hợp này, d và (P) không có hình chiếu vuông góc vì d đã vuông góc hoàn toàn với mặt phẳng.

Trường hợp 2:

• Trong trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P), góc tạo bởi d và (P) bằng góc tạo bởi d và ảnh của nó trên (P) là d'.
• Hình ảnh của d trên (P), hay nói cách khác hình chiếu vuông góc d', nằm trọn vẹn trong (P) và hợp với d một góc có số đo nhỏ nhất.

Ký hiệu chi tiết cho góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

• Nếu d⊥(P) : ∠(d,(P)) = 900⁰
• Nếu d không vuông góc với (P) : ∠(d,(P)) = ∠(d,d′), đó là góc giữa d và hình chiếu vuông góc d' của d lên (P).

Hướng dẫn cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Muốn đo góc giữa mặt phẳng và đường thẳng, ta cần nắm vững kiến thức này. Đây như chiếc la bàn chỉ đường trong mê cung hình học không gian. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần hiểu rõ các bước cùng phương pháp áp dụng cho từng trường hợp cụ thể. Qua đó, bạn sẽ nắm được phương pháp chính xác để giải quyết các bài tập trắc nghiệm hoặc bài toán nâng cao.

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp vecto

Để tính góc giữa mặt phẳng và đường thẳng chính xác, bạn cần biết và hiểu rõ về công cụ hình học vectơ. Phương pháp này được xây dựng trên cơ sở mối quan hệ giữa vectơ định hướng của đường thẳng và vectơ vuông góc với mặt phẳng. Trước hết, ta cần hiểu cách xác định góc của 2 điểm này một cách chính xác cũng như trực quan nhất.

Để tính điểm này, bạn cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, ký hiệu là n và vectơ chỉ phương ký hiệu là u của đường thẳng. Hai công cụ này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng. Công thức tính góc được xây dựng dựa trên tích vô hướng của hai vectơ, kết hợp với độ lớn (norm) của từng vectơ để đảm bảo kết quả chính xác.

Ví dụ, có d là đường thẳng với vectơ u = (a, b, c) và P là mặt phẳng với pháp tuyến (A, B, C). Từ đó, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sẽ được tính theo công thức cực đơn giản mà ai cũng có thể áp dụng dưới đây: 

Khi làm các bài toán hình học không gian, việc xử lý chính xác các phép toán cùng lý thuyết là rất quan trọng, và điều này đòi hỏi một công cụ hỗ trợ tốt. Để học tập hiệu quả, một chiếc laptop cấu hình tốt sẽ giúp bạn xử lý nhanh chóng các bài toán phức tạp. Nếu bạn đang tìm kiếm thiết bị phù hợp, hãy tham khảo các dòng laptop giá sốc tại CellphoneS để có lựa chọn tốt cho việc học và làm bài, kèm theo nhiều ưu đãi cho giáo dục.

[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp hình học

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thường dựa trên mối liên hệ giữa điểm chiếu của đường thẳng lên điểm cùng với chính đường thẳng đó. Cụ thể, góc của 2 điểm này được hiểu là góc nhọn tạo bởi điểm, hình chiếu của nó trên mặt phẳng. 

Để giải bài toán tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) bằng hình học, bạn làm tuần tự các bước dưới đây. Trước tiên, cần biết được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vectơ của a (chỉ phương). Sau đó, áp dụng công thức tính góc dựa trên mối quan hệ giữa hai vectơ này để tìm ra giá trị chính xác của góc cần tìm.

Bước 1: Tìm điểm chung O
Để tìm góc giữa a và (α), bước đầu tiên là xác định điểm O, nơi đường thẳng a cắt mặt phẳng (α). Đây là điểm mà đường thẳng, bề phẳng cắt nhau và nó đóng vai trò làm gốc để xác định mối quan hệ giữa 2 vật thể này. 

Bước 2: Thực hiện phép chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng.

Lấy A thuộc a, chiếu vuông góc A lên (α). Điểm chiếu này ký hiệu là A′, và để dựng hình chiếu, cần kẻ một đường thẳng vuông góc từ A xuống (α), sao cho A′ nằm trong mặt phẳng.

Bước 3: Tính góc nhanh chóng

Từ điểm giao O của đường thẳng a và mặt phẳng (α), ta dựng đoạn thẳng vuông góc AA' từ điểm A trên đường thẳng a đến mặt phẳng (α). Góc ∠AOA' chính là góc giữa a và (α). Để xác định số đo của góc này, bạn sử dụng công cụ đo góc hoặc áp dụng các định lý hình học.

Bài tập trắc nghiệm minh họa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Dưới đây là các bài tập trắc nghiệm minh họa giúp bạn hiểu rõ hơn cách xác định góc trong từng trường hợp cụ thể.

Câu 1:  Cho ΔABC vuông tại A, với cạnh AB = a và cạnh AC = a3. Từ điểm A, kẻ đường vuông với mặt (ABC). Trên đường thẳng này, lấy điểm S sao cho đoạn thẳng SA có độ dài bằng 2a. Tìm góc hợp bởi cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABC)?

A. 300⁰

B. 450⁰
C. 600⁰

D. 900⁰

Lời giải:
Do tính chất vuông góc của SA với (ABC), ta có

SA⊥(ABC)  ⟹  ∠(SA,(ABC)) = 900⟹ ∠(SA,(ABC)) = 900⁰

Vậy góc giữa SA và (ABC) là 900. Từ đó, D là đáp án đúng.

Câu 2: Cho hình chóp P.MNOP có đáy MNO đều cạnh b. G là giao điểm của đường vuông hạ từ P xuống mặt phẳng (MNO). Khi đó, G không chỉ là hình chiếu của P mà còn là trung điểm của đoạn thẳng NO. Ngoài ra, PNO cũng là tam giác đều. Tính góc giữa (MNO) với PM?

A. 300⁰

B. 450⁰
C. 600⁰

D. 900⁰

Lời giải:
Do tính chất vuông góc của PG với (MNO), ta có:

PG⊥(MNO)

Vậy, MG là hình chiếu của PM lên mặt phẳng (MNO), nên:

∠(PM,(MNO)) = ∠(PM,MG) = ∠(PMG)

Xét tam giác PMG

• PG⊥(MNO) nên PG⊥MGP
• Do tam giác PNO đều, ta suy ra PG=MGP 
• Tam giác PMG vuông cân tại G, suy ra ∠(PMG) = 450⁰

Từ đó, B là đáp án đúng. 

Khả năng vận dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là yếu tố cần thiết để các bạn học sinh nhanh chóng giải quyết được bài toán mà không phải băn khoăn suy nghĩ nhiều. Nắm vững phương pháp và áp dụng đúng vào các bài tập trắc nghiệm sẽ giúp bạn đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn cũng như tự tin hơn khi làm các bài tập liên quan đến chủ đề này.

Xem thêm bài viết trong chuyên mục: Góc Học & Dạy 4.0