7 hằng đẳng thức đáng nhớ - Định nghĩa & Ví dụ minh họa

Trên con đường chinh phục toán học, 7 hằng đẳng thức lớp 8 đáng nhớ luôn là một trong những công cụ quan trọng. Nắm vững 7 hằng đáng nhớ này không chỉ giúp bạn có được sự nhanh nhạy khi giải toán mà còn trong cả vấn đề cuộc sống. Bài viết sẽ mở ra cho bạn cái nhìn tổng quan về các công thức kèm ví dụ minh họa cụ thể để dễ dàng vận dụng nó.

Định nghĩa về hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức là những công thức toán học đặc biệt, được biểu diễn dưới dạng phương trình, thể hiện sự cân bằng tuyệt đối giữa hai biểu thức. Điểm đặc biệt của hằng đẳng thức chính là tính bất biến, chúng luôn đúng với mọi giá trị của biến số. Nói cách khác, dù thay đổi các biến số trong đẳng thức thế nào, hai vế vẫn luôn bằng nhau.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 là nền tảng cơ bản, hỗ trợ học sinh tiếp cận các bài toán đại số một cách logic và hiệu quả. Hiểu rõ 7 hằng đáng nhớ kông chỉ giúp giải toán mà còn phát triển tư duy suy luận, phân tích vấn đề trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

7 hằng đẳng thức cơ bản cần nhớ

Dưới đây là 7 hằng đẳng thức lớp 8 đáng nhớ mà bạn cần ghi nhớ và vận dụng thành thạo:

Bình phương của một tổng

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Hằng đẳng thức này phát biểu rằng bình phương của tổng 2 số tự nhiên bất kỳ sẽ bằng tổng của bình phương số đầu cộng với bình phương số thứ hai, cộng tiếp với tích của số đầu và số thứ hai.

Ví dụ thực tế:

Mảnh đất hình vuộng được đo độ dài là a mét. Người ta mở rộng mỗi cạnh thêm b mét.

• Diện tích mảnh đất ban đầu là: a²
• Diện tích mảnh đất sau khi mở rộng là: (a + b)²

Vậy, hằng đẳng thức này cho ta cách tính diện tích mảnh đất mới: (a + b)² = a² + 2ab + b² (diện tích hình vuông ban đầu cộng hai lần diện tích hình chữ nhật a x b cộng diện tích hình vuông nhỏ b²)

Bình phương của một hiệu

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Khi lấy một số trừ đi một số khác rồi bình phương kết quả lên, ta sẽ thu được kết quả bằng bình phương số ban đầu thứ nhất trừ đi hai lần tích của hai số ban đầu đó rồi cộng với bình phương số ban đầu thứ hai.

Ví dụ thực tế:  Tấm bìa hình vuông có độ dài được đo là a cm. Sau đó ở một góc nhỏ tấm bìa, lại cắt một hình vuông có cạnh là b cm

• Diện tích tấm bìa ban đầu là: a²
• Diện tích tấm bìa sau khi cắt là: (a - b)²

Hằng đẳng thức này biểu diễn diện tích tấm bìa sau khi cắt: (a - b)² = a² - 2ab + b² (diện tích hình vuông ban đầu trừ hai lần diện tích hình chữ nhật a x b cộng diện tích hình vuông nhỏ b²)

Hiệu hai bình phương

a² - b² = (a + b)(a - b)

Hiệu của hai số bình phương bằng tổng của số đầu và số thứ hai nhân với hiệu của số đầu và số thứ hai.

Ví dụ thực tế: Một hình chữ nhật có chiều dài a mét, chiều rộng b mét. Ta cắt dọc theo chiều rộng một đoạn b mét và ghép nó vào chiều dài.

• Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: ab
• Hình mới tạo thành có chiều dài (a + b), chiều rộng (a - b) và diện tích là: (a + b)(a - b)
• Vì diện tích không đổi nên ta có: a² - b² = (a + b)(a - b)

Lập phương của một tổng

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Với mọi số thực a và b, ta luôn có: lập phương của tổng hai số đó bằng tổng của lập phương số thứ nhất, ba lần tích bình phương số thứ nhất với số thứ hai, ba lần tích số thứ nhất với bình phương số thứ hai và lập phương số thứ hai.

Ví dụ thực tế:  Hình dung một khối lập phương lớn có cạnh là (a + b). Khối lập phương này được tạo thành từ 8 khối nhỏ hơn: một khối lập phương cạnh a, một khối lập phương cạnh b, ba khối hộp chữ nhật có kích thước a x a x b và ba khối hộp chữ nhật có kích thước a x b x b.

• Thể tích khối lập phương lớn là: (a + b)³
• Tổng thể tích các khối nhỏ là: a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Lập phương của một hiệu

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Với mọi số thực a và b, ta luôn có: lập phương của hiệu hai số đó bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất với bình phương số thứ hai và trừ đi lập phương số thứ hai.

Ví dụ thực tế:  Tương tự như trên, nhưng lần này ta lấy khối lập phương lớn cạnh a và khoét đi một khối lập phương nhỏ cạnh b cùng với các khối hộp chữ nhật tương ứng.

• Thể tích phần còn lại của khối lập phương lớn là: (a - b)³
• Thể tích này bằng thể tích khối lập phương cạnh a trừ đi thể tích khối lập phương cạnh b và các khối hộp chữ nhật.

Tổng hai lập phương

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Tổng lập phương của hai số thực bất kỳ có thể biểu diễn thành tích của tổng hai số đó với một biểu thức gồm ba số hạng: bình phương số thứ nhất, trừ tích hai số, cộng bình phương số thứ hai.

Ví dụ:

p³ + 8 = p³ + 2³ = (p + 2)(p² - 2p + 4)

Trong đó, p² - 2p + 4 chính là "bình phương thiếu của hiệu p và 2".

Nắm vững 7 hằng đẳng thức lớp 8 là bước đệm quan trọng cho con bạn chinh phục toán học. Để việc học thêm hiệu quả, hãy trang bị cho con chiếc điện thoại thông minh với ứng dụng học tập trực tuyến. Cửa hàng trực tuyến CellphoneS luôn có những ưu đãi hấp dẫn để hỗ trợ quá trình tìm đến tri thức của học sinh. Đến ngay link bên dưới để tìm hiểu bạn nha

[Product_Listing categoryid="3" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/mobile.html" title="Danh sách điện thoại đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Hiệu hai lập phương

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Với hai số thực bất kỳ, khi lấy lập phương số thứ nhất trừ đi lập phương số thứ hai, ta được kết quả bằng tích của hiệu hai số đó với tổng của bình phương số thứ nhất, tích hai số và bình phương số thứ hai.

Ví dụ:

q³ - 27 = q³ - 3³ = (q - 3)(q² + 3q + 9)

Nhận thấy,  q² + 3q + 9 chính là bình phương thiếu của tổng q và 3,  nó chỉ thiếu (-2ab) so với hằng đẳng thức bình phương của một tổng.

Ứng dụng của hằng đẳng thức trong giải toán

7 hằng đáng nhớ được đề cập có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải toán, giúp đơn giản hóa các phép tính và giải quyết các bài toán phức tạp. Dưới đây là một số ứng dụng trong toán học thường thấy.

Rút gọn biểu thức

7 hằng đẳng thức lớp 8 đáng nhớ cho phép rút gọn các biểu thức đại số cồng kềnh, làm cho chúng trở nên dễ dàng xử lý hơn.

Ví dụ: Thực hiện tối giản biểu thức: (x + 2)² - (x - 2)²

Chọn loại hằng "bình phương của một tổng" và "bình phương của một hiệu" để thực hiện, ta có:

(x + 2)² - (x - 2)² = (x² + 4x + 4) - (x² - 4x + 4) = 8x

Tính nhanh giá trị của biểu thức

Bằng cách nhận dạng các mẫu hằng đẳng thức, ta có thể tính toán giá trị của biểu thức một cách nhanh chóng mà không cần thực hiện các phép tính phức tạp.

Ví dụ: Tính nhanh: 102²

Ta có thể viết 102² = (100 + 2)²

Áp dụng hằng đẳng thức "bình phương của một tổng", ta có:

(100 + 2)² = 100² + 2.100.2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404

Giải phương trình và bất phương trình

7 hằng đáng nhớ ở lớp 8 được sử dụng để giải các phương trình và bất phương trình, đặc biệt là các phương trình bậc hai và bậc ba.

Ví dụ: Giải phương trình: x² - 9 = 0

Áp dụng hằng đẳng thức "hiệu hai bình phương", ta có:

x² - 9 = x² - 3² = (x + 3)(x - 3) = 0

=> x + 3 = 0 hoặc x - 3 = 0

=> x = -3 hoặc x = 3

Hiểu rõ và vận dụng thành thạo 7 hằng đẳng thức lớp 8 đáng nhớ là chìa khóa để giải quyết hiệu quả nhiều dạng bài tập toán học. Hãy thường xuyên luyện tập và vận dụng 7 hằng đáng nhớ vào các bài tập cụ thể để nâng cao kỹ năng giải toán của mình nhé. Đừng quên ghé thăm Sforum để tham khảo thêm các thông tin toán học khác.