Phương trình elip - Từ lý thuyết tới bài tập minh họa

Phương trình elip là một dạng toán xuất hiện ở phổ thông và là một dạng bài khó. Các đặc điểm, công thức, lưu ý khi tính toán dạng bài này như thế nào? Nếu bạn muốn ôn lại hoặc học cách lập phương trình chính tắc tổng quát của đường elip thì hãy đến với những nội dung sau.

Định nghĩa về phương trình đường elip

Để hiểu được khái niệm về phương trình đường elip, bạn cần xem lý thuyết dưới đây:

Cho hai điểm cố định F1, F2 trong mặt phẳng và một khoảng 2a có độ dài không đổi lớn hơn F1F2. Ta có elip là một tập chứa tất cả những điểm M ở trong một mặt phẳng sao cho F1M + F2M = 2a. 

Thực tế, đường elip có hình dạng gần với với hình tròn nên có nhiều tính chất liên quan với nhau. Trên hình, ta gọi hai điểm F1 và F2 là tiêu điểm, còn khoảng cách F1F2 thì được gọi là tiêu cự của elip.

Để tìm hiểu thêm các dạng bài toán khác, bạn sẽ cần một chiếc laptop để vừa tìm vừa học. Hãy xem ngay một vài mẫu laptop phục vụ tốt cho việc học dưới đây:

[Product_Listing categoryid="1054" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop/sinh-vien.html" title="Tham khảo danh sách laptop sinh viên được quan tâm tại CellphoneS!"]

Phương trình chính tắc của elip là gì?

Phương trình chính tắc của elip xuất hiện rất nhiều trong những bài toán hình học phẳng. Đây là kiến thức các em học sinh cần nắm vững để có thể giải tốt toán hình và áp dụng vào trong thực tiễn. 

Cho hình elip có tiêu điểm là F1 (-c;0) và F2 (c;0) và chọn hệ trục toạ độ Oxy. Ta có điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M + F2M = 2a. Khi đó, bạn có thể lập phương trình chính tắc của elip như sau:

M (x, y) (E) x2/a2 + y2/b2 = 1. Trong đó: b2 = a2 - c2

Các thành phần và hình dạng của elip

Sau khi đã tìm hiểu phương trình elip tổng quát, bạn nên biết thêm các thành phần của dạng hình học này. Elip có hình dạng gần giống hình tròn với các thành phần đối xứng nhau khi đặt trên một hệ trục toạ độ. Cụ thể, các thành phần của phương trình hình elip bao gồm:

• Cho hình elip (E) và điểm M (x;y) thuộc (E). Khi đó, trên hình elip sẽ tồn tại các điểm M1 (-x;y), M2 (x; -y) và M3 (-x, -y) cũng thuộc (E).
• Hai tiêu điểm đường elip có toạ độ: F1 (-c;0) và F2 (c;0).
• Những điểm A1 (-a;0), A2 (a;0), B1 (0;-b) và B2 (0;b) được gọi là 4 đỉnh của elip. Các điểm này nằm ở vị trí giao giữa đường elip với trục Ox và Oy của hệ trục toạ độ.
• F1F2 = 2c, đoạn này là tiêu cự của elip.
• Khoảng cách A1A2 = 2a là độ dài trục lớn của elip.
• Khoảng cách B1B2 = 2b là độ dài trục nhỏ của elip.

Mối liên hệ giữa hình tròn và hình elip

Hình tròn và đường elip có mối quan hệ mật thiết với nhau về mặt hình học. Vì thế, những nghiên cứu về hình tròn cũng sẽ bổ sung tính chất cho phương trình elip và ngược lại.

• Mối liên hệ đối xứng và cách tính diện tích

Có thể thấy, cả hình tròn và elip đều có tính chất đối xứng nhau qua tâm O và các trục chính Ox, Oy. Để tính diện tích hai hình này thì đều cần dựa vào bán kính (hình tròn) hoặc bán trục (elip) và giá trị .

phuong-trinh-elip-4

• Elip có thể biến đổi gần giống hình tròn

Dựa vào biểu thức b2 = a2 - c2 có thể suy ra, tiêu cự của hình elip càng nhỏ thì giá trị b càng gần với a. Điều này có nghĩa là trục nhỏ của hình elip có độ dài càng gần với trục lớn. Như vậy, tiêu cự của elip càng nhỏ thì elip càng gần giống với hình tròn.

• Hình tròn có thể co lại thành elip

Ngược lại với mối liên hệ ở trên, hình tròn có thể co lại thành elip nếu thỏa mãn một số điều kiện. Cách chứng minh như sau:

Cho hình tròn (O) có phương trình x2 + y2 = a2. Ta có mỗi điểm M (x;y) đều thuộc đường tròn O. Tiếp tục xét điểm M’(x’;y’) sao cho thoả mãn hai điều kiện: x’ = x và y’ = (b/a) y. Khi đó, tập hợp các điểm M’ đều thoả mãn phương trình chính tắc của hình elip là x’2/a2 + y’2/b2 = 1.

Từ những chứng minh trên, ta rút ra được kết luận: Hình tròn có thể co lại thành đường elip.

Một số bài tập minh họa

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng phương trình elip trong toán học, bạn có thể tham khảo một số bài tập vận dụng kèm đáp án dưới đây:

Bài 1: Cho hình elip (E) có phương trình x2/25 + y2/9 = 1. Bạn hãy xác định độ dài trục lớn, trục bé, tiêu điểm, tiêu cự của hình elip.

Bài giải:

Dựa trên phương trình x2/25 + y2/9 = 1 của elip (E), ta có:

a2 = 25 => a = 5

b2 = 9 => b = 3

c = căn bậc 2 của (a2 - b2)= căn bậc 2 của (25 - 9) = căn bậc 2 của 16 = 4

Từ đó, ta tính được giá trị của trục lớn, trục bé, tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của elip (E) là:

Tiêu điểm của (E): F1 (-4;0) và F2 (4;0)

Tiêu cự của (E): F1F2 = 4+4 = 8

Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a = 5x2 = 10

Độ dài trục bé: B1B2 = 2b = 2x3 = 6

Bài 2: Cho hình elip (E) có độ dài trục lớn là 12, trục nhỏ là 8. Dựa trên đề bài, bạn hãy viết phương trình chính tắc của hình elip (E).

Bài giải:

Gọi các đỉnh của hình elip là A1 (-a;0), A2 (a;0), B1 (0;-b) và B2 (0;b).

Trục lớn là: A1A2 = 2a = 12. Suy ra, a = 6

Trục bé là: B1B2 = 2b = 8. Suy ra b = 4

Vậy phương trình elip của (E) được viết như sau: x2/a2 + y2/b2 = 1 x2/25 + y2/9 = 1

Ở trên là những kiến thức về phương trình elip. Ngoài dạng bài lập phương trình chính tắc tổng quát của đường elip, có những dạng bài khác cũng khó và bạn cần phải ôn lại thật kỹ. Nếu bạn muốn tìm các dạng toán này, hãy đến với những bài về toán học và các chủ đề giáo dục trên Sforum nhé. 

Đọc thêm bài viết cùng chuyên mục: Góc Học & Dạy 4.0