Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất, đặc điểm, bài tập thường gặp

My Ngọc, Tác giả Sforum - Trang tin công nghệ mới nhất

Ngày đăng: 20/01/2025-Cập nhật: 20/01/2025

Tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp là nền tảng quan trọng trong việc giải những bài toán hình học. Hiểu và áp dụng đúng những kiến thức này sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán và củng cố khả năng tư duy logic. Bài viết sẽ đưa ra các bài tập cách chứng minh tứ giác nội tiếp, đi kèm lời giải chi tiết để bạn dễ dàng tiếp cận.

Tứ giác nội tiếp là gì?

Đây là dạng hình tứ giác mà bốn đỉnh của nó đều sẽ nằm trên một đường tròn, tạo thành mối liên hệ chặt chẽ giữa các góc và các cung trong hình. Dạng hình này có một tính chất đặc trưng là hai góc đối diện của nó khi cộng lại sẽ bằng 180 độ. Đây cũng là một kiến thức chủ chốt trong hình học phẳng mà bạn cần nắm để có thể giải được những bài toán liên quan đến đường tròn cũng như chứng minh tứ giác nội tiếp.

Tứ giác nội tiếp là hình mà bốn đỉnh đều nằm trên một đường tròn — Tứ giác nội tiếp có 4 đỉnh nằm trên đường tròn

Trong hành trình học tập, một chiếc Laptop phù hợp là công cụ không thể thiếu, giúp bạn làm việc hiệu quả và truy cập tài nguyên dễ dàng. Hãy khám phá ngay các dòng Laptop chất lượng, bán chạy nhất tại CellphoneS dưới đây!

[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Tính chất của tứ giác nội tiếp

Trong hình học thì đây là một dạng hình có khác nhiều đặc điểm riêng Các tính chất này sẽ được vận dụng để giải những bài toán hình liên quan đến cách chứng minh tứ giác nội tiếp. Một số tính chất hình học của dạng hình này là:

Giao điểm của bốn đường trung trực trong tứ giác sẽ tương ứng với tâm của đường tròn ngoại tiếp.
Khi hai góc đối diện trong tứ giác nội tiếp vuông góc, trung điểm của đường chéo nối hai đỉnh còn lại sẽ là tâm của đường tròn ngoại tiếp.
Nếu có hai góc vuông của hình cùng nhìn vào một cạnh, trung điểm của cạnh này sẽ tương ứng với tâm đường tròn ngoại tiếp.

Tứ giác nội tiếp có những tính chất mà các bạn cần phải lưu ý

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Trong hình học, việc chứng minh các dạng hình nội tiếp được trong một đường tròn là dạng toán thường thấy. Điều này đòi hỏi phải dựa vào các đặc điểm hình học đặc thù để chứng minh. Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp bạn cần chú ý như:

Hai góc đối diện của hình này cộng lại bằng 180 độ, thì đây có thể là nó nội tiếp đường tròn.
Khi góc ngoài tạo bởi một cạnh kéo dài tại một đỉnh bằng với góc trong ở đỉnh đối diện, đây là tứ giác nội tiếp.
Khoảng cách từ bốn đỉnh của hình đến một điểm cố định bằng nhau thì điểm này chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Nếu như hai góc kề nhau cùng nhìn một cách nối hai góc còn lại với một góc bằng nhau thì đây là một tứ giác nội tiếp.
Các hình như hình chữ nhật, hình vuông hay hình thang cân đều là một tứ giác nội tiếp.

Dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp là tổng hai gốc đối diện bằng 180 độ — Tổng hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác nội tiếp

Bài tập về tứ giác nội tiếp

Dạng hình này là một nội dung khá quan trọng, thường xuất hiện trong các bài tập về chứng minh hình học. Các dạng bài tập này không chỉ giúp rèn luyện kỹ năng tư duy logic mà còn củng cố kiến thức về tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Dưới đây là hai dạng bài tập phổ biến thường gặp khi làm việc với dạng hình này.

Dạng bài 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn là dạng đề khá thường thấy trong chương trình học và có nhiều cách để giải được đề này. Sử dụng phương pháp phù hợp sẽ giúp bạn chứng minh một cách nhanh chóng và hiểu rõ hơn về các tính chất hình học của dạng hình này.

Cách 1: Đây là phương pháp được vận dụng nhiều. Bạn chỉ cần chứng minh hai góc đối diện của tứ giác đó cộng lại là 180 độ thì đây nó sẽ nội tiếp đường tròn.
Cách 2: Nếu hai đỉnh liền kề của tứ giác nhìn về một cạnh chung dưới cùng một góc, thì nó sẽ nội tiếp.
Cách 3: Bạn chỉ cần chứng minh tứ giác có một góc ngoài ở một đỉnh bằng với góc trong tại đỉnh đối diện, thì nó nội tiếp đường tròn.
Cách 4: Chứng minh là có một điểm cách đều bốn đỉnh của hình thì đó chính làlàm tâm của đường tròn ngoại tiếp, từ đó suy ngược lại hình này nội tiếp.

Trong hình tam giác ABC, vẽ các đường cao BM và CN. Và hai đường này sẽ giao nhau tại điểm H. Chứng minh AMHN và BNMC đều là các tứ giác nội tiếp.

Dạng bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp

Dạng bài 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song,...

Để giải bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp, ta áp dụng các tính chất đặc trưng của nó, bao gồm: tổng hai góc đối diện bằng 180 độ, góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm chắn cùng một cung, và các đoạn thẳng liên quan đến tâm đường tròn ngoại tiếp.

Đề bài: Cho nửa đường tròn với tâm O và có đường kính là cạnh AB. Trên đoạn thẳngthằng OA ta vẽ một điểm M, và trên nửa đường tròn lấy một điểm N. Sau đó, kẻ các tiếp tuyến Ax và By từ hai điểm A và B. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm N và vuông góc với cạnh NM cắt Ax và By lần lượt tại điểm C và D. Các điều cần chứng minh là:

a. Tứ giác ACNM và BDNM nội tiếp.

b. Hai tam giác ANB và CMD đồng dạng. Từ đó, kết luận rằng IMKN là tứ giác nội tiếp.

Dạng bài tập sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh liên quan 1

Dạng bài tập sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh liên quan 2

Bài tập ví dụ về tứ giác nội tiếp

Các bài toán hình ví dụ dưới đây được chọn lọc kỹ lưỡng nhằm giúp bạn nắm vững lý thuyết về tứ giác nội tiếp và áp dụng linh hoạt vào giải toán. Mỗi bài tập cách chứng minh tứ giác nội tiếp sẽ đều có đi kèm với lời giải chi tiết, giúp bạn hiểu rõ cách vận dụng tính chất của dạng hình này vào thực tiễn.

Bài tập ví dụ 1

Tam giác ABC là một tam giác vuông cân tại đỉnh A và có cạnh AB bằng cạnh AC. Đặt I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, K là tâm của đường tròn bàng tiếp tại góc A, và O được xác định là trung điểm của đoạn thẳng nối I và K. Một số điều cần chứng minh gồm:

Các điểm B, C, I, K nằm trên cùng một đường tròn.
Cạnh AC là đường tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính độ dài bán kính của đường tròn tâm O, với độ dài cạnh AB = AC = 20cm và cạnh BC = 24cm.

Bài tập ví dụ 1 về tứ giác nội tiếp (1)

Bài tập ví dụ 1 về tứ giác nội tiếp (2)

Bài tập ví dụ 2

Cho đường tròn (O) có bán kính là R và hai đường kính của nó là AB, CD vuông góc với nhau tại tâm O. Trên đoạn AB bạn lấy điểm M sao cho M khác điểm O. Và đoạn thẳngthằng CM sẽ cắt đường tròn tại điểm N. Kẻ một đường thẳng vuông góc với cạnh AB và cắt tại điểm M, sau đó cắt đường ĐườngtĐường thẳng vuông góc với AB tại điểm M giao với tiếp tuyến N của đường tròn này tại điểm P. Một số điều cần chứng minh gồm:

Tứ giác OMNP nội tiếp.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
Chứng minh tích của cạnh CM và CN (CMxCN) không thay đổi khi M di chuyển trên AB.
Xác định đoạn thẳng cố định mà điểm P di chuyển khi M thay đổi trên AB.

Bài tập ví dụ 2 về tứ giác nội tiếp (1)

Bài tập ví dụ 2 về tứ giác nội tiếp (2)

Bài tập ví dụ 3

Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính là AB. Kẻ tiếp tuyến Bx tại điểm B và chọn hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD lần lượt giao với tia Bx tại các điểm E và F, trong đó F nằm giữa B và E.

Chứng minh rằng tích AC×AE không thay đổi.
Chứng minh rằng ∠ABD = ∠DFB.
Tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn.

Bài tập ví dụ 3 về tứ giác nội tiếp (1)

Bài tập ví dụ 3 về tứ giác nội tiếp (2)

Tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp là nội dung quan trọng mà bạn cần nắm khi giải các dạng toán hình học. Qua các bài tập cách chứng minh tứ giác nội tiếp, hy vọng bạn bạn sẽ hiểu hơn về phương pháp giải và vận dụng trong học tập và giáo dục. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu hơn về các khái niệm và phát triển tư duy hình học của mình!

Xem thêm bài viết trong chuyên mục: Góc Học & Dạy 4.0

Thẻ: WikiS giáo dục