Biến cố độc lập là gì? Ví dụ minh họa có lời giải

Biến cố độc lập là khi hai hoặc nhiều sự kiện xảy ra mà không làm thay đổi xác suất của nhau, nghĩa là mỗi sự kiện không có ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của sự kiện còn lại. Trong xác suất, hiểu rõ khái niệm này giúp ta phân tích các sự kiện một cách chính xác hơn. Qua bài viết này, hãy cùng Sforum tìm hiểu về định nghĩa, công thức biến cố độc lập và đưa ra các ví dụ minh họa có lời giải để bạn dễ dàng áp dụng trong thực tế.

Biến cố độc lập là gì?

Trong lý thuyết xác suất, hai biến cố A và B được coi là biến cố độc lập khi việc xảy ra hay không xảy ra của một trong hai biến cố không làm thay đổi xác suất xuất hiện của biến cố còn lại. Nói cách khác, dù một biến cố có diễn ra hay không, khả năng xảy ra của biến cố còn lại vẫn giữ nguyên.

- Quy tắc nhân xác suất: 

Khi hai biến cố A và B là biến cố độc lập, xác suất để cả hai cùng xảy ra được tính bằng tích xác suất của từng biến cố:

P(AB) = P(A).P(B)

Quy tắc này cũng mở rộng cho nhiều biến cố và nếu k biến cố A1,A2,...,Ak độc lập với nhau, thì xác suất để tất cả đồng thời xảy ra là:

P(A1A2Ak) = P(A1).P(A2)...P(Ak)

Việc chọn mua laptop để học toán không chỉ giúp bạn giải bài tập nhanh chóng mà còn hỗ trợ vẽ đồ thị, chạy phần mềm tính toán và học lập trình. Một chiếc laptop phù hợp nên có màn hình sắc nét, hiệu năng ổn định và bàn phím thoải mái để dễ dàng nhập công thức. Nếu bạn đang tìm kiếm một chiếc laptop giúp học toán hiệu quả, hãy cân nhắc các tiêu chí về hiệu suất, độ bền và tính linh hoạt khi sử dụng.

[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Ví dụ minh họa về biến cố độc lập

Ví dụ: Xét một chiếc máy bay được trang bị hai động cơ (động cơ I và động cơ II), mỗi động cơ hoạt động một cách độc lập mà không bị ảnh hưởng bởi hiệu suất của động cơ còn lại. Xác suất để động cơ I vận hành tốt là 0,6, trong khi động cơ II có khả năng hoạt động ổn định với xác suất 0,8. Hãy tính:

a) Xác suất cả hai động cơ đều chạy tốt

b) Xác suất cả hai động cơ đều không hoạt động

Hướng dẫn cách giải:

a) Xác suất cả hai động cơ đều chạy tốt

Do hai động cơ vận hành độc lập với nhau, xác suất để cả hai cùng hoạt động tốt được xác định bằng cách nhân xác suất từng động cơ chạy tốt:

P(A) = P(I chạy tốt) x P(II chạy tốt) = 0,6 x 0,8 = 0,48

b) Xác suất cả hai động cơ đều không hoạt động

Xác suất để động cơ I không chạy tốt là: P(I hỏng) = 1 - P(I chạy tốt) = 1 - 0,6 = 0,4

Tương tự, xác suất để động cơ II không chạy tốt là: P(II hỏng) = 1 - P(II chạy tốt) = 1 - 0,8 = 0,2

Do hai động cơ hỏng độc lập với nhau, xác suất để cả hai đều không hoạt động là: P (B) = P (I hỏng) x P (II hỏng) = 0,4 x 0,2 = 0,08

Như vậy, khả năng để cả hai động cơ cùng vận hành tốt là 48%, trong khi khả năng cả hai đều hỏng chỉ chiếm 8%. Đây là một ví dụ thực tế về cách áp dụng quy tắc nhân xác suất cho các biến cố độc lập, giúp ta hiểu rõ hơn về mức độ rủi ro khi vận hành hệ thống máy móc.

Một số bài tập tự luyện về biến cố độc lập

Dưới đây là một số bài tập giúp bạn rèn luyện khả năng xác định và tính toán xác suất của các biến cố độc lập:

Bài 1: Một chiếc máy bay được trang bị hai động cơ A và B, mỗi động cơ có thể hoạt động độc lập với nhau. Hiệu suất hoạt động của mỗi động cơ là hoàn toàn độc lập, không chịu sự tác động hay ảnh hưởng từ động cơ còn lại. Theo thống kê kỹ thuật, xác suất để động cơ A vận hành ổn định là 0,5, trong khi động cơ B có khả năng chạy tốt lên đến 0,9.

Dựa vào những thông tin này, chúng ta sẽ tính toán xác suất xảy ra của hai trường hợp quan trọng sau:

a) Cả hai động cơ đều hoạt động tốt

b) Cả hai động cơ đều bị hỏng

Một số bài tập về biến cố độc lập

Bài 2: Trong một trò chơi may rủi, ta gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét hai biến cố sau:

A: "Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt có 4 chấm"

B: "Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt có 4 chấm"

Hỏi hai biến cố A và B có phải là biến cố độc lập không, hãy giải thích điều đó.

Bài 3: Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc (tức là không thể xảy ra đồng thời), với P(A) > 0 và P(B) > 0. Bạn hãy chứng minh rằng A và B không thể là hai biến cố độc lập.

Tóm lại, việc hiểu rõ biến cố độc lập giúp chúng ta áp dụng chính xác các quy tắc xác suất trong thực tế. Qua những ví dụ minh họa - bài tập trên, bạn có thể thấy cách xác định và tính toán xác suất của các biến cố này một cách dễ dàng. Việc nắm vững khái niệm biến cố độc lập không chỉ hỗ trợ trong học tập mà còn có ý nghĩa quan trọng trong các lĩnh vực giáo dục như thống kê, tài chính và khoa học dữ liệu.

Xem thêm bài viết trong chuyên mục: Góc Học & Dạy 4.0