Lý thuyết công thức cấp số nhân và bài tập có lời giải

Công thức cấp số nhân là phần kiến thức thiết yếu trong môn Toán bậc THPT mà các bạn học sinh cần phải nắm vững. Vì vậy, trong bài viết sau đây hãy cùng Sforum tìm hiểu sâu hơn về khái niệm, tính chất và các công thức tính cấp số nhân. Đặc biệt, bài viết sẽ giúp bạn nắm rõ 5 dạng bài tập thường gặp cùng phương pháp giải chi tiết để vận dụng hiệu quả vào quá trình học tập và ôn thi.

Lý thuyết về cấp số nhân

Trong toán học, cấp số nhân (Geometric Sequence) được xem là một dãy số đặc biệt với quy luật là để có được số hạng tiếp theo, ta chỉ cần lấy số hạng đứng trước nhân với một hằng số cố định. Vậy nên, để hiểu rõ hơn về công thức tính cấp số nhân và các đặc điểm của nó, chúng ta hãy cùng tìm hiểu các khái niệm cơ bản sau đây:

Cấp số nhân là gì?

Một dãy số được gọi là cấp số nhân khi các số hạng của nó (bắt đầu từ số hạng thứ hai) được hình thành bằng cách lấy số hạng trước đó nhân với một hệ số không thay đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân, ký hiệu là q, và có vai trò quan trọng trong công thức của cấp số nhân khi tính toán các số hạng tiếp theo trong dãy.

Ví dụ: Xét dãy số 3, 6, 12, 24, 48,... là một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu tiên: u₁ = 3
• Công bội q = 2 (vì 6/3 = 12/6 = 24/12 = 48/24 = 2)
• Ta có thể tìm được số hạng kế tiếp bằng phép nhân số hạng đang xét với 2 (q = 2)

Để tính cấp số nhân thuận tiện hơn, bạn nên sở hữu một chiếc laptop để thao tác nhanh chóng với các công thức và dãy số phức tạp. Chiếc máy tính xách tay sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian tính toán, dễ dàng kiểm tra kết quả và lưu trữ bài tập một cách có hệ thống. Học sinh - sinh viên hiện có nhiều lựa chọn laptop với mức giá phải chăng trên thị trường, điển hình như:

[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Cấp số nhân lùi vô hạn được hiểu là một dãy số được mở rộng về phía âm vô hạn, tức là các số hạng có chỉ số n < 0. Đây là một khái niệm quan trọng trong việc mở rộng cấp số nhân, và công thức cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng cách chia số hạng cho công bội q thay vì nhân như trong cấp số nhân thông thường.

Ví dụ: Cho cấp số nhân có u₁ = 16 và công bội q = 2, khi lùi vô hạn ta có dãy số: ... 2, 4, 8, 16, 32, 64,... với điều kiện:

• u₁ = 16 (số hạng đầu tiên)
• u₀ = 8 (chia 16 cho 2)
• u₋₁ = 4 (chia 8 cho 2)
• u₋₂ = 2 (chia 4 cho 2)

Tính chất của cấp số nhân

Để hiểu và giải được các bài toán về cấp số nhân, ta cần nắm vững những tính chất đặc trưng của nó. Đặc trưng cơ bản nhất là tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng công bội q, được thể hiện qua công thức un+1/un = q với mọi số tự nhiên n. Dựa vào tính chất này, ta sẽ tìm được công thức chung để xác định số hạng thứ n: un = u1 × q(n-1), với u1 là số hạng đầu tiên của dãy.

Một tính chất đặc biệt khác của cấp số nhân là tích của hai số hạng cách đều một số hạng bất kỳ luôn bằng bình phương của số ở giữa. Cụ thể, với ba số hạng liên tiếp uk, uk+1, uk+2 ta có: uk × uk+2 = (uk+1)². Ngoài ra, nếu các giá trị trong dãy đều dương thì trung bình nhân của hai số hạng bất kỳ bằng số hạng nằm giữa hai số hạng đó (nếu số các số hạng nằm giữa là lẻ).

Công thức cấp số nhân

Sau khi đã hiểu rõ về định nghĩa của cấp số nhân cũng như các tính chất của nó, bước tiếp theo là khám phá các công thức cấp số nhân. Những công thức này sẽ giúp bạn tính toán và xác định chính xác các số hạng trong một dãy cấp số nhân, để áp dụng vào các bài toán thực tế một cách hiệu quả. Cụ thể các phương pháp đó là:

Công thức truy hồi

Công thức: un = un-1 . q với n∈N∗

Công thức truy hồi là một trong những công thức của cấp số nhân cơ bản nhất, thể hiện mối liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy. Quy tắc này cho thấy để tìm được số hạng thứ n (ký hiệu là un), ta chỉ cần lấy số đứng trước nó (un-1) nhân với công bội q. Ví dụ, trong dãy cấp số nhân 2, 6, 18, 54,... với công bội q = 3, ta có u3 = u2 × 3 = 6 × 3 = 18, và tương tự u4 = u3 × 3 = 18 × 3 = 54.

Công thức cấp số nhân

Công thức: un = u1 . q(n-1)

Đây là công thức tổng quát của cấp số nhân, cho phép tính trực tiếp số hạng thứ n mà không cần phải tính các số hạng trung gian. Theo cấp số nhân công thức này, để tìm số hạng thứ n (un), ta chỉ cần biết số hạng đầu tiên (u1) và công bội q, sau đó nhân u1 với q (n-1). Ví dụ, trong dãy 2, 6, 18, 54,... với u1 = 2 và q = 3, ta có thể tính ngay u4 = 2 × 3(4-1) = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54 mà không cần phải tính u2 và u3.

Công thức tính công bội q của cấp số nhân

Công thức: q = (un+1)/un

Công thức cấp số nhân này giúp xác định giá trị của công bội qua việc so sánh tỉ lệ giữa các số hạng kề nhau. Nó cho thấy q có thể được tìm bằng cách lấy một số hạng bất kỳ chia cho số hạng đứng liền trước nó. Ví dụ, trong dãy số 3, 9, 27, 81,..., ta có thể tính q = 9/3 = 3, hoặc q = 27/9 = 3, hoặc q = 81/27 = 3, điều này chứng tỏ tính chất không đổi của công bội trong cấp số nhân.

Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên

Công thức: Sn = u1(1-qn)/(1-q)

Thay vì ta cộng từng số, mà ta hãy tận dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. Ba yếu tố cần thiết để áp dụng công thức này là: số hạng đầu (u1), công bội (q), và tổng số phần tử cần tính (n). Ví dụ, với dãy cấp số nhân 2, 6, 18, 54,... (u1 = 2, q = 3), muốn tính tổng 4 số hạng đầu tiên, ta có S4 = 2(1-3⁴)/(1-3) = 2(1-81)/-2 = 2×80/2 = 80, giúp bạn có kết quả mà không phải cộng 2 + 6 + 18 + 54.

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Công thức: S = u1/(1−q)

Công thức cấp số nhân lùi vô hạn này được sử dụng để tính tổng của một dãy số có vô hạn số hạng, với điều kiện |q| < 1 để đảm bảo dãy số hội tụ. Đây là một cách tính đặc biệt quan trọng khi bạn cần tính tổng của các dãy số vô tận. Ví dụ như trong dãy 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... với u1 = 1 và q = 1/2, áp dụng quy tắc ta có S = 1/(1-1/2) = 1/(1/2) = 2, cho bạn kết quả chính xác của một tổng vô hạn số hạng.

Tổng hợp các dạng bài áp dụng công thức cấp số nhân

Rèn luyện thường xuyên các dạng bài tập về công thức cấp số nhân là cách hiệu quả để nắm chắc và vận dụng thành thạo kiến thức này vào thực tế. Thông qua việc giải các bài toán đa dạng, học sinh sẽ hiểu sâu về công thức và tính chất của cấp số nhân, cũng như phát triển kỹ năng tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Cụ thể học sinh thường xuyên gặp những dạng bài tập điển hình như sau:

Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân

Phương pháp tính: q = un+1 / un (n = 1, n>1)

Kết luận:

• Trường hợp 1: Nếu q thay đổi thì un không phải là cấp số nhân.
• Trường hợp 2: Nếu q không đổi thì un là cấp số nhân.

Ví dụ: Xét dãy số (2, 6, 18, 54). Xác định dãy số đã cho này có phải cấp số nhân hay không?

Cách giải:

1. Áp dụng cấp số nhân công thức để tính các tỉ số q:
   • q₁ = u₂/u₁ = 6/2 = 3
   • q₂ = u₃/u₂ = 18/6 = 3
   • q₃ = u₄/u₃ = 54/18 = 3
2. Nhận xét: Vì các tỉ số q₁ = q₂ = q₃ = 3 đều bằng nhau nên dãy số (2, 6, 18, 54) là một cấp số nhân với công bội q = 3 và u₁ = 2.

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Phương pháp giải:

• Trường hợp 1: Sử dụng công thức q = un+1/un khi biết hai số hạng liên tiếp.
• Trường hợp 2: Sử dụng công thức un = u1 × q(n-1) khi biết số hạng thứ nhất và một số hạng bất kỳ.
• Trường hợp 3: Sử dụng tính chất tích hai số hạng cách đều khi biết ba số hạng.

Ví dụ: Một dãy cấp số nhân được biết số hạng thứ nhất là u₁ = 2, và số hạng vị trí thứ 4 là u₄ = 54. Em hãy xác định công bội q của dãy số.

Cách giải:

1. Áp dụng công thức của cấp số nhân trong trường hợp 2, ta sẽ có là:
   • u₄ = u₁ × q³ (vì n = 4)
   • 54 = 2 × q³
2. Giải phương trình:
   • q³ = 54/2 = 27
   • q = ∛27 = 3
3. Kết luận: Công bội của cấp số nhân là q = 3 (Kiểm tra: với q = 3, ta có dãy: 2, 6, 18, 54,...)

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Phương pháp tìm: 

• Trường hợp 1: Sử dụng công thức un = u1.q(n-1) khi biết số hạng đầu và công bội.
• Trường hợp 2: Sử dụng công thức un = un-1.q khi biết số hạng trước đó và công bội. 
• Trường hợp 3: Sử dụng tính chất hai số hạng cách đều khi biết số hạng giữa.

Ví dụ: Một khách hàng mở sổ tiết kiệm với số vốn ban đầu là 10 triệu đồng, lãi suất hàng năm 8%. Tính tổng số tiền mà khách hàng này sẽ nhận được sau 3 năm mở sổ tiết kiệm? (Giả sử tiền lãi được nhập gốc hàng năm)

Cách giải:

1. Áp dụng công thức cấp số nhân với các thông số như sau:
   • u₁ = 10 (triệu đồng - số tiền ban đầu)
   • q = 1.08 (hệ số tăng mỗi năm, tức 100% + 8% = 108% = 1.08)
   • n = 3 (số năm)
2. Áp dụng công thức tổng quát ta sẽ có:
   • u₃ = u₁.q²
   • u₃ = 10 × (1.08)²
   • u₃ = 10 × 1.1664
   • u₃ = 11.664 (triệu đồng)

Như vậy, khoản tiền khách hàng này sẽ nhận được sau 3 năm là 11.664 triệu đồng (tương đương 11,664,000 đồng).

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Phương pháp tính tổng n số hạng:

• Trường hợp 1: Sử dụng công thức Sn = u1(1-qn)/(1-q) khi q ≠ 1.
• Trường hợp 2: Sử dụng công thức Sn = nu1 khi q = 1.
• Trường hợp 3: Tính từng số rồi cộng khi n nhỏ.

Công thức cấp số nhân giúp tính nhanh tổng n phần tử đầu

Ví dụ: Cho cấp số nhân với u₁ = 3, q = 2. Bạn hãy tính tổng của 5 số hạng đầu tiên là bao nhiêu?

Cách giải:

1. Ta có các giá trị như sau:
   • u₁ = 3
   • q = 2
   • n = 5
2. Áp dụng công thức tính tổng cụ thể là:
   • S₅ = u₁(1-q⁵)/(1-q)
   • S₅ = 3(1-2⁵)/(1-2)
   • S₅ = 3(1-32)/(-1)
   • S₅ = 3 × 31
   • S₅ = 93

Kiểm tra: Ta có dãy số 3, 6, 12, 24, 48; Tổng = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93.

Kết quả tổng của 5 số hạng đầu tiên trong dãy cấp số nhân trên đây sẽ bằng 93.

Dạng 5: Tìm cấp số nhân

Phương pháp tìm cấp số nhân:

• Trường hợp 1: Dùng công thức cấp số nhân để tìm u1 và q từ hai số hạng bất kỳ đã biết.
• Trường hợp 2: Dùng hệ phương trình từ điều kiện của bài để tìm u1 và q.
• Trường hợp 3: Sử dụng tổng Sn và một số hạng để thiết lập phương trình.

Ví dụ: Tìm cấp số nhân biết tổng ba số hạng đầu tiên là 26 và tổng hai số hạng cuối là 20.

Cách giải:

1. Giả sử ta có cấp số nhân có ba số hạng lần lượt là u₁, u₂, u₃
   • S₃ = u₁ + u₂ + u₃ = 26 (1)
   • u₂ + u₃ = 20 (2)
   • u₂ = u₁.q và u₃ = u₁.q²
2. Thay các biểu thức vào (1) và (2):
   • u₁ + u₁q + u₁q² = 26
   • u₁q + u₁q² = 20
   • u₁(1 + q + q²) = 26 (3)
   • u₁(q + q²) = 20 (4)
3. Từ (3) và (4):
   • u₁ = 6 và q = 2
4. Do đó, dãy cấp số nhân ta tìm được là: 6, 12, 24

Lưu ý: Các công thức cấp số nhân trên là những công thức chuẩn trong toán học, do đó bạn có thể áp dụng vào mọi bài toán về dãy số với công bội không đổi để có kết quả chính xác.

Trên đây là toàn bộ kiến thức về công thức cấp số nhân mà Sforum đã tổng hợp và chia sẻ đến các bạn học sinh. Với việc nắm vững khái niệm, tính chất cùng các công thức quan trọng, các bạn có thể tự tin giải quyết 5 dạng bài tập thường gặp về cấp số nhân. Hy vọng bài viết đã giúp các bạn có thêm kiến thức và phương pháp học tập hiệu quả để đạt được kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới.