Tổng hợp các công thức tính đạo hàm nhanh dành cho lớp 11

Công thức tính đạo hàm nhanh sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức toán học quan trọng một cách dễ dàng. Bài viết này của Sforum cung cấp các công thức tính nhanh đạo hàm u+v, hỗ trợ bạn giải bài tập nhanh chóng. Hãy cùng khám phá để tự tin hơn trong học tập nhé.

Định nghĩa và các quy tắc cơ bản

Định nghĩa và các quy tắc cơ bản để áp dụng công thức tính đạo hàm nhanh là nền tảng quan trọng giúp bạn hiểu rõ cách vận dụng kiến thức vào thực tế. Dưới đây là những thông tin cần thiết, cơ bản mà bạn cần nắm được để có thể làm bài tập.

Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm là tỉ số biểu thị mối quan hệ giữa sự thay đổi của giá trị hàm số và sự thay đổi của biến số tại một điểm. Nó phản ánh tốc độ biến thiên của hàm tại điểm đó, giúp xác định độ dốc của đồ thị hàm số trong toán học.

Trong vật lý, đạo hàm thường được sử dụng để biểu diễn vận tốc tức thời hoặc sự thay đổi của một đại lượng theo thời gian. Công thức tính đạo hàm và đạo hàm nói riêng có vai trò quan trọng trong nghiên cứu chuyển động, tối ưu hóa và phân tích các đồ thị, ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Ý nghĩa của đạo hàm

Đạo hàm có ý nghĩa sâu sắc trong cả toán học và ứng dụng thực tiễn. Trong toán học, đạo hàm giúp xác định tốc độ thay đổi của hàm số, tìm cực trị và nghiên cứu tính đơn điệu của hàm. Trong thực tế, đạo hàm được áp dụng trong vật lý để tính vận tốc, gia tốc; trong kinh tế để phân tích lợi nhuận biên; và trong kỹ thuật để thiết kế các hệ thống điều khiển. Ý nghĩa hình học của đạo hàm là độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm, giúp biểu diễn xu hướng thay đổi tại điểm đó. 

Quy tắc cơ bản để áp dụng công thức đạo hàm lớp 11

Học sinh lớp 11 thường sử dụng các quy tắc, công thức tính nhanh đạo hàm. Các quy tắc này giúp đơn giản hóa việc tính toán đạo hàm, giúp giải quyết nhanh các bài toán hàm số phức tạp. Bao gồm quy tắc với công thức tính đạo hàm như sau:

• Quy tắc công thức đạo hàm u+v: (𝑢 + 𝑣)′ = 𝑢′ + 𝑣′
• Quy tắc nhân: (𝑢 * 𝑣)′ = 𝑢′ * 𝑣 + 𝑢 * 𝑣′
• Quy tắc thương: (uv)’ = 𝑢′ * 𝑣 - 𝑢 * 𝑣′v2
• Quy tắc hàm hợp: Nếu 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)), thì 𝑦′ = 𝑓′(𝑔(𝑥))⋅𝑔′(𝑥)

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, được sử dụng để mô tả sự thay đổi của một hàm số theo biến độc lập. Dưới đây là các công thức tính đạo hàm thông dụng đã được Sforum tổng hợp

Công thức tổng quan về đạo hàm

Đạo hàm là phép toán dùng để tính tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm. Công thức tính đạo hàm nhanh, tổng quát được tính dựa vào giới hạn:

 𝑓’(𝑥) = x0yx = x0f(x) − f(x0)x - x0

Trong đó:

• Δ 𝑥 = 𝑥 − 𝑥0: là số gia của biến 𝑥.

• Δ 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0): là số gia tương ứng của hàm số.

Laptop cũng là một công cụ hỗ trợ đắc lực trong quá trình giải quyết các bài toán đạo hàm. Với sự trợ giúp của các phần mềm, bạn có thể tính đạo hàm với hiệu quả cao hơn. Tham khảo những chiếc Laptop được ưa chuộng:

[Product_Listing categoryid="380" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop.html" title="Danh sách Laptop được mua nhiều tại CellphoneS"]

Công thức đạo hàm cơ bản

Bên cạnh công thức đạo hàm u+v, còn một số công thức đạo hàm cơ bản khác. Những công thức này là nền tảng để giải các bài toán đạo hàm nhanh chóng, thường gặp trong chương trình phổ thông. Các công thức tính đạo hàm cơ bản bạn cần phải nhớ:

1. (c)'=0, với 𝑐 là hằng số
2. (xn)'=nxn-1 với 𝑛 ∈ 𝑅
3. (x)' = 12x
4. (1x)' =-1x2
5. (nx)' = 1n * nxn-1, n ∈ N ,n>1 
6. (ex)'=ex
7. (ax)' =ax * ln a
8. (ln x)'=1x
9. (logax)' = 1x * ln a
10. (ax+bcx+d)'=ad - bx(cx+d)2
11. (ax2+bx+cex+f)'=aex2+2afx+(bf-ce)(ex+f)2

Công thức đạo hàm bậc cao

Đạo hàm bậc cao là một phần quan trọng trong giải tích, liên quan đến việc tính toán các đạo hàm của một hàm số nhiều lần. Dưới đây là tổng hợp công thức tính đạo hàm nhanh cho bậc cao thường được sử dụng:

1. (xm)(n)=m(m-1)...(m-n+1)xm-n nếu mn
2. (xm)(n)=0 nếu m
3. (logax)(n) = (-1)n-1 * (n-1)!ln a*1xn
4. (ln x)(n) = (-1)n-1 * (n-1)!*x-n

1. (ekx)(n)= kn*ekx
2.  (ax)(n)= (ln a)n*ax
3. (sin ax)(n) =an*sin(ax+n/2)
4. (cos ax)(n) =an*cos(ax+n/2)
5. (1ax + b)(n)=(-1)n.an.n!1(ax+b)n+1

Công thức đạo hàm cho hàm số lượng giác

Việc tính đạo hàm của các hàm số lượng giác giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của các đại lượng này theo các biến số. Các công thức tính đạo hàm cho hàm lượng giác đặc trưng có thể kể đến:

1. (sin x)'=cos x 
2. (cos x)'=-sin x
3. (tan x)'=1cos2x
4. (cot x)'=-1sin2x
5. (sec x)'=(1cos x)' =sec x * tan x
6. (csc x)'=(1sin x)' =-csc x * tan x
7. (arcsin x)' =11-x2
8. (arccos x)' =-11-x2
9. (arctan x)' =1x2+1

Bảng công thức đạo hàm mới nhất 

Việc nắm vững các công thức tính đạo hàm không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán trong học tập mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Dưới đây là bảng tổng hợp công thức đạo hàm u+v, đạo hàm cơ bản, nâng cao để các bạn tham khảo:

Đạo hàm f(x) (x là biến số)	Đạo hàm f(u) (u là hàm số)
(kx)'=k	(k*u)'=k*u'
(xn)'=nxn-1	(un)'=n*un-1*u'
(x)' = 12x	(u)' = u'2x
(1x)' =-1x2	(1u)' =-u'u2
(ex)'=ex	(eu)'=eu*u'
(ax)' =ax * ln a	(au)' =au * ln a*u'
(ln x)'=1x	(ln u)'=u'u
(logax)' = 1x * ln a	(logau)' = u'u * ln a
(sin x)'=cos x	(sin u)'=cos u*u'
(cos x)'=-sin x	(cos u)'=-sin u*u'
(tan x)'=1cos2x	(tan u)'=u'cos2u
(cot x)'=-1sin2x	(cot u)'=-u'sin2u

Các dạng bài tập về đạo hàm

Các bài tập về đạo hàm không chỉ kiểm tra khả năng vận dụng lý thuyết mà còn phát triển kỹ năng giải quyết các vấn đề phức tạp khi thực hành toán học. Dưới đây là một số dạng bài tập về đạo hàm giúp bạn rèn luyện và nắm vững kiến thức

Dạng 1: Bài tập đạo hàm áp dụng khái niệm và định nghĩa của đạo hàm

Dạng bài tập 1 là dạng bài tập để giúp bạn làm quen với đạo hàm. Để giải dạng này, bạn cần áp dụng định nghĩa đạo hàm để tính đạo hàm tại một điểm cho hàm số. Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y=f(x)=x2-x, sử dụng công thức tính đạo hàm thông qua định nghĩa.

Bài giải

Ta có y= (x0+x)2-(x0+x)-(x02+x0)=x(x+2x0-1)

Vậy f'(x)=x0yx=x0(x+2x0-1)

=> f'(x)=2x0-1

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số dựa trên tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của một hàm số tại một điểm có thể được viết dưới dạng y=f'(x0)(x-x0)+f(x0), trong đó f'(x0) là đạo hàm của hàm số tại điểm x0 và f(x0) là giá trị của hàm tại x0. Sau đó bạn có thể áp dụng các công thức tính nhanh đạo hàm để giải bài toán

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số f(x)=x2 tại điểm x0=1

Bài giải

Ta có f'(x)=2x0

x0=1 =>f(1)=1 ; f'(1)=1

Vậy, phương trình tiếp tuyến là: y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức với điều kiện liên quan đến đạo hàm cho trước

Trong dạng bài này, yêu cầu thường là chứng minh một đẳng thức liên quan đến đạo hàm, có thể là chứng minh tính đúng đắn của một mối quan hệ giữa các đạo hàm hoặc xác định điều kiện để đẳng thức đúng. Bạn có thể áp dụng công thức tính đạo hàm để giải bài toán này

Ví dụ: Cho y=f(x)=2x+6. Chứng minh y'<10

Bài giải

Áp dụng các công thức đạo hàm, ta có y'=2<10

Vì vậy y'<10

Dạng 4: Giải phương trình và bất phương trình có liên quan đến đạo hàm

Trong dạng bài này, bạn cần sử dụng công thức tính đạo hàm để giải các phương trình hoặc bất phương trình. Để giải, ta thường tìm các giá trị của x sao cho đạo hàm của hàm số thỏa mãn các điều kiện cho trước.

Ví dụ: Giải bất phương trình f'(x)0 với f(x)=x2-4x+3

Bài giải

Ta có f'(x)=2x-40

=> 2x4=>x2 

Dạng 5: Cho hệ số góc, viết phương trình tiếp tuyến

Trong dạng bài này, bạn sẽ được đề bài cung cấp hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó và phương trình của hàm số. Thông qua công thức tính đạo hàm, bạn có thể tìm được phương trình tiếp tuyến của một hàm số tại một điểm cho trước. 

Ví dụ: Cho hàm số y=x2+1. Viết phương trình tiếp tuyến biết rằng hệ số góc m của tiếp tuyến tại điểm này là 4.

Bài giải

Ta có m=4=y'=2x=> x=2

Hoành độ x=2 => y=5

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y=m(x-x0)+y0=> y=4(x-2)+5

Phương trình tiếp tuyến với hệ số góc 4 là: y=4x-3

Dạng 6: Áp dụng công thức đạo hàm và nguyên hàm để giải bài tập

Dạng bài này yêu cầu bạn sử dụng công thức tính đạo hàm và nguyên hàm để giải các bài tập. Bạn sẽ cần tính đạo hàm hoặc nguyên hàm của một hàm số và sau đó áp dụng chúng để giải các phương trình hoặc bài toán liên quan.

Ví dụ: Cho hàm số f(x)=x3+2x2-5x+4. Tính đạo hàm và nguyên hàm.

Bài giải

• Đạo hàm của f(x) là: f'(x)=3x2+4x-5
• Nguyên hàm của f(x) là: F(x)=x44+23x3-52x2+4x+C

Dạng 7: Tính đạo hàm bậc cao 

Dạng bài số 7 này yêu cầu bạn cần phải sử dụng các công thức tính nhanh đạo hàm bậc cao của một hàm số. Điều này tức là bạn sẽ phải tính đạo hàm nhiều lần cho một hàm số cho đến khi đạt được bậc đạo hàm yêu cầu của đề bài.

Ví dụ: Áp công thức tính đạo hàm bậc 2 của hàm số f(x)=4x3+9x2-10x+6

Bài giải

Đạo hàm bậc 1 của f(x): f(x)=12x2+18x-10

=> Đạo hàm bậc 2 của f(x): f(x)=24x+18

Một số câu hỏi thường gặp

Khi học về đạo hàm, nhiều học sinh và sinh viên thường gặp phải những câu hỏi khó khăn trong việc hiểu và áp dụng các công thức đạo hàm. Dưới đây là giải đáp cho một số câu hỏi thường gặp liên quan đến công thức tính đạo hàm

Làm sao để ghi nhớ bảng đạo hàm hiệu quả?

Để ghi nhớ bảng đạo hàm hiệu quả, bạn nên chia nhỏ các công thức theo nhóm như hàm bậc, hàm lượng giác, hàm mũ,... và học theo từng nhóm. Hãy làm quen với việc sử dụng bảng công thức tính đạo hàm trong các bài tập thực hành để ghi nhớ qua thực tế. Đặc biệt, cần ôn lại đều đặn và áp dụng liên tục để củng cố kiến thức lâu dài.

Phương pháp giải bài tập đạo hàm nhanh chóng?

Giải bài tập đạo hàm nhanh chóng đòi hỏi bạn phải nắm vững các công thức cơ bản và hiểu rõ các quy tắc đạo hàm như đạo hàm của tổng, tích, thương. Cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ dạng của hàm số để áp dụng đúng công thức. Thực hành đều đặn, làm nhiều bài tập mẫu sẽ giúp bạn phản xạ nhanh và giải quyết bài toán một cách chính xác hơn.

Việc nắm vững công thức tính đạo hàm nhanh sẽ hỗ trợ bạn trong quá trình giải bài tập hiệu quả và tiết kiệm thời gian. Hy vọng với các công thức tính nhanh đạo hàm u+v trên của Sforum sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán đạo hàm. Khi sử dụng thành thạo, bạn có thể dễ dàng áp dụng vào các bài tập trong học tập cũng như trong các kỳ thi.