Tổng hợp các công thức tính khoảng cách thường gặp

Các công thức tính khoảng cách là công cụ giúp mọi người, đặc biệt là học sinh giải quyết các bài tính toán một cách nhanh chóng. Do đó, Sforum đã tổng hợp tất cả các công thức tính khoảng cách thường dùng, bạn hãy tham khảo và áp dụng ngay nhé. Đồng thời, đừng quên lưu ý các đại lượng và đơn vị cho trước để lựa chọn cách tính chính xác nhất.

Khái niệm về công thức tính khoảng cách

Khoảng cách là một đại lượng quen thuộc trong toán học và vật lý biểu thị độ lớn, độ dài của đoạn thẳng khi nối hai điểm bất kỳ. Trong đó, công thức tính khoảng cách là phương pháp, công cụ tính toán đã được nghiên cứu và chứng mình. Tùy từng dữ liệu và đại lượng cho trước mà bạn có thể áp dụng các công thức khác nhau để cho ra kết quả nhanh chóng và chính xác.

Một số tính cách quan trọng của khoảng cách trong toán học như:

• Không âm: Khoảng cách giữa hai điểm bất kì luôn là một số không âm vì độ dài không thể mang giá trị âm.
• Đối xứng: Khoảng cách từ điểm A đến điểm B luôn bằng khoảng cách từ điểm B đến điểm A.
• Bất đẳng thức tam giác: Tổng khoảng cách từ điểm A đến điểm B và từ điểm B đến điểm C luôn lớn hơn hoặc bằng khoảng cách trực tiếp từ điểm A đến điểm C (AB + BC AC).
• Tính duy nhất: Với hai điểm bất kỳ trong một không gian, chỉ có một đoạn thẳng và khoảng cách giữa chúng.

Để có thể học tập dễ dàng hơn, một chiếc laptop là vật dùng cần thiết. Do đó, hãy đến ngay Cellphones để chọn lựa đa dạng mẫu laptop mới nhất, phù hợp với mọi học sinh, sinh viên và người đi làm cùng với nhiều ưu đãi hấp dẫn cho giáo dục.

Các công thức tính khoảng cách thường dùng

Dựa vào dữ liệu và các đại lượng cho trước, bạn cần áp dụng đúng công thức để có thể tính khoảng cách một cách chính xác. Dưới đây, Sforum đã tổng hợp các công thức tính khoảng cách thường dùng, bạn hãy tham khảo và áp dụng nhé.

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ

Khi xét 2 điểm bất kỳ trên trục tọa độ Oxy, ta sẽ thu được 2 giá trị là x và y được biểu diễn dưới dạng A(x, y). Trong đó, x và y có thể là giá trị âm hoặc giá trị dương tùy vào tọa độ của điểm đó trên mặt phẳng Oxy. 

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị bất kỳ A(xA, yA) và B(xB, yB) như sau:

 

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Trong trục tọa độ Oxy, đường thẳng là một tập hợp các điểm có cùng mối quan hệ tuyến tính giữa hoành độ (x) và tung độ (y), được biểu diễn dưới dạng d: ax + by + c = 0.

Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, trong đó điểm M(x1, y2) và đường thẳng d có dạng ax + by + c = 0 được xác định như sau:

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Trong hệ trục tọa độ Oxy, mặt phẳng là toàn bộ không gian có chứa các điểm có tọa độ (x,y). Trong đó, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được quy ước là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.

Do đó, bạn có thể áp dụng 2 công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng như sau:

Cách 1: Áp dụng công thức

Trong đó, điểm M có tọa độ (x,y,z) và mặt phẳng (P) có dạng (P): ax + by + cz + d= 0.

Cách 2: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P), sau đó tính khoảng cách giữa hai điểm đó theo công thức cách tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ như trên.

Công thức tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau hoặc song song

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng bất kỳ có thể trùng nhau, chéo nhau hoặc song song với nhau. Khi đó, công thức tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau hoặc song song được xác định như sau:

Trong đó:

• M1 và M2 là hai điểm bất kỳ trên trường thẳng d1 và d2.
• Điểm M1(x1, y2, z3) và điểm M2(x2, y2, z2).
• u (a, b, c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 hoặc d2.

Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được biểu diễn dưới dạng:

(P): ax + by + cz + d1 = 0 và (Q): ax + by + cz + d2 = 0 như sau:

Với hai mặt phẳng chéo nhau, bạn có thể lấy một điểm bất kỳ trên mặt phẳng thứ nhất và áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để được kết quả nhanh chóng.

Một số bài tập về tính khoảng cách

Sau khi đã hiểu và ghi nhớ các công thức tính khoảng cách như trên, bạn hãy bắt đầu áp dụng vào các bài toán cụ thể. Dưới đây Sforum tổng hợp lại một vài bài tập ví dụ, bạn hãy đọc đề bài, áp dụng công thức để ra kết quả và kiểm tra lại với đáp án bên dưới nhé.

Bài tập 1

Đề bài: Tìm khoảng cách giữa hai điểm A(2,3) và B(5,7).

Cách giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

Thay tọa độ của điểm A(2,3) và B(5,7), ta được xA = 2, yA = 3 và xB = 5, yB = 7.

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A(2,3) và B(5,7) là 25.

Bài tập 2

Đề bài: Tính khoảng cách từ M(5, 6) đến đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0.

Cách giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Thay tọa độ của điểm M(5,6) và đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0, ta được x = 5, y = 6, a = 2, b = 3, c = 4.

Vậy khoảng cách từ M(5, 6) đến đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0 là 2,461.

Bài tập 3

Đề bài: Tính khoảng cách từ C(3, 8, 5) đến mặt phẳng d: x + 4y + 6z + 7 = 0.

Cách giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Thay tọa độ của điểm C(3, 8, 5) vào mặt phẳng (P) có dạng (P): x + 4y + 6z + 7 = 0, ta được x = 3, y = 8, z = 5, a = 1, b =4, c = 6, d = 7.

Vậy khoảng cách từ C(3, 8, 5) đến mặt phẳng d: x + 4y + 6z + 7 = 0 là 1,358.

Bài tập 4

Đề bài: Tính khoảng cách của hai mặt phẳng song song có dạng (P): 3x + 5y + 2z + 25 = 0 và (Q): 3x + 5y + 2z + 8 = 0 như sau:

Cách giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Ta được, a = 3, b = 5, c = 2, d1 = 25, d2 = 8

Vậy khoảng cách của hai mặt phẳng song song có dạng (P): 3x + 5y + 2z + 4 = 0 và (Q): 3x + 5y + 2z + 8 = 0 là 2,757.

Trên đây, Sforum đã giới thiệu đến bạn các công thức tính khoảng cách thường dùng ứng với từng đại lượng cụ thể. Bạn hãy áp dụng ngay những công thức này để làm bài tập tính toán một cách nhanh chóng và có kết quả chính xác nhé.

Xem thêm bài viết trong chuyên mục: Mẹo vặt