Công thức tính thể tích khối và 12 dạng bài tập có lời giải

Việc nắm vững công thức tính thể tích khối chóp không chỉ là chìa khóa để giải quyết các bài toán hình học hiệu quả mà còn áp dụng vào thực tiễn cuộc sống. Vậy tại bài viết này, Sforum sẽ cung cấp các công thức tính nhanh thể tích của khối chóp đều và không đều, cũng như tổng hợp 12 dạng bài tập kèm lời giải chi tiết để bạn dễ dàng hiểu và vận dụng. 

Khối chóp là gì?

Khối chóp là một loại đa diện có các mặt bên là hình tam giác cùng giao nhau tại một đỉnh và mặt còn lại là đáy là một đa giác. Chiều cao là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ đỉnh xuống mặt đáy. 

Trong các bài toán hình học, khối chóp là dạng bài thường gặp và còn xuất hiện trong các ứng dụng thực tế cuộc sống. Vì vậy, việc thông thạo công thức tính thể tích khối chóp là vô cùng cần thiết.

Các tính chất của khối chóp

Khối chóp có các tính chất như sau:

• Khi các cạnh bên của khối chóp có độ dài bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm của đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đáy.
• Khi các mặt bên của hình chóp tạo với đáy các góc bằng nhau, chân đường cao chính là tâm của đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đáy.
• Nếu có một mặt bên vuông góc với đáy, chân đường cao là giao điểm của đường vuông góc từ đỉnh khối chóp đến đáy, thuộc mặt bên này.
• Khi hai mặt bên đồng thời vuông góc với mặt đáy, đường giao tuyến giữa hai mặt bên cũng sẽ vuông góc với đáy.

Công thức tính thể tích khối chóp

Công thức tính thể tích khối chóp: V = 1/3 x S x h 

Với:

• h: chiều cao của khối chóp, tức độ dài đoạn thẳng vuông góc với đáy kẻ từ đỉnh.
• S: diện tích đáy.

Công thức này có tính chất tổng quát, có thể áp dụng linh hoạt cho mọi trường hợp của khối chóp. Việc xác định đúng diện tích đáy và đường cao là chìa khóa để tính thể tích chính xác trong các bài toán hình học không gian.

Một chiếc laptop sẽ giúp việc học trở nên hiệu quả và dễ dàng hơn. Nhờ sự đa dạng của sản phẩm, học sinh, sinh viên có nhiều sự lựa chọn phù hợp với nhu cầu của mình. Dưới đây Sforum sẽ gợi ý đến mọi người một số mẫu laptop có mức giá hợp lý:

[Product_Listing categoryid="1054" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/laptop/sinh-vien.html" title="Tham khảo danh sách laptop sinh viên được quan tâm tại CellphoneS!"]

Tổng hợp các dạng bài áp dụng công thức tính thể tích khối chóp

Sau khi đã nắm rõ các công thức tính nhanh thể tích của khối chóp đều và không đều, việc áp dụng vào bài tập thực tế là rất quan trọng để hiểu sâu hơn. Dưới đây Sforum đã tổng hợp 12 dạng bài tập phổ biến, mỗi dạng được trình bày chi tiết kèm theo lời giải cụ thể: 

Dạng 1: Tính thể tích cho khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy

Đề bài: Tính thể tích khối chóp S.ABCD có (SAB) vuông góc với mặt đáy hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 6cm, BC = 8cm, và SA = 10cm. 

Lời giải:

Diện tích đáy: S = AB x BC = 6 x 8 = 48 cm2

Chiều cao: h = SA = 10cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: 

V = 1/3 x S x h = 1/3 x 48 x 10 = 160 cm3

Dạng 2: Xác định thể tích khối chóp khi cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Đề bài: Tìm thể tích khối chóp S.ABC, biết đáy là tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = 6cm, cạnh bên SA = 9cm và tạo với đáy góc 90 độ. 

Lời giải:

Diện tích đáy: S = 1/2 x AB x AC = 1/2 x 6 x 6 = 18 cm2

Chiều cao: h = SA = 9 cm

Thể tích khối chóp: V = 1/3 x S x h = 1/3 x 18 x 9 = 54 cm3

Dạng 3: Tính toán thể tích khối chóp S.ABCD khi đáy là hình vuông

Đề bài: Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 6 cm, chiều cao h = 10 cm.

Lời giải:

Chiều cao h = 10 cm

Diện tích đáy: S = 6 x 6 = 36 cm2

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: 

V = 1/3 x S x h = 1/3 x 36 x 10 = 120 cm3

Dạng 4: Tính thể tích cho khối chóp có dạng lập phương

Khối chóp này có tất cả các mặt bên đều là hình lập phương có 12 cạnh bằng nhau. Vì vậy công thức tính thể tích khối chóp này là: V = a x a x a = a^3 (với a là cạnh của khối lập phương). 

Đề bài: Tính thể tích khối chóp có dạng lập phương cạnh 6cm. 

Lời giải:

V = a x a x a = a^3 = 6^3 = 216 cm3

Dạng 5: Công thức thể tích của khối chóp thuộc lăng trụ tam giác đều

Đề bài: Tính thể tích khối chóp ABC.A’B’C’ có chiều cao h = 9cm và đáy là tam giác đều cạnh a = 4cm. 

Lời giải:

Diện tích đáy tam giác đều: S = (a^2 x √3)/4 = (4^2 x √3)/4 = 4√3 cm2

Chiều cao h = 9 cm

Công thức tính thể tích khối chóp thuộc lăng trụ tam giác đều: 

V = S x h = 4√3 x 9 = 36√3 cm3

Dạng 6: Tìm thể tích của khối chóp có đáy là lục giác đều

Đề bài: Tính thể tích khối chóp có chiều cao h = 15cm và đáy là lục giác đều cạnh a = 4cm.

Lời giải:

Diện tích lục giác đều: S = (3√3 x a^2)/2 = (3√3 x 4^2)/2 = 24√3 cm2

Chiều cao h = 15cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: 

V = 1/3 x S x h = 1/3 x 24√3 x 15 = 120√3 cm3

Dạng 7: Công thức chung cho thể tích của khối chóp thuộc dạng lăng trụ

Đề bài: Tính thể tích khối chóp lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = 5cm, AB = 1cm, BC = 3cm với đáy là hình chữ nhật.

Lời giải:

Chiều cao h = AA’ = 5 cm

Diện tích đáy: S = 1 x 3 = 3 cm2

Công thức tính thể tích khối chóp thuộc dạng lăng trụ:

V = B x h = 3 x 5 = 15 cm3 (h: độ dài đường cao, B: diện tích đáy)

Dạng 8: Tính thể tích khối chóp khi biết độ dài ba cạnh bên

Đề bài: Tính thể tích khối chóp S.ABC có SA = 8cm, SB = 10cm, SC = 12cm, SA vuông góc với mặt đáy tam giác ABC vuông tại A. 

Lời giải:

Ta có: SA vuông góc với đáy 

Suy ra: SA vuông góc với cạnh AB, AC 

Tam giác SAB vuông tại A:

AB = √(SB^2 - SA^2) = √(10^2 - 8^2) = 6cm 

Tam giác SAC vuông tại A:

AC = √(SC^2 - SA^2) =√(12^2 - 8^2) = 4√5cm

Diện tích đáy: S = 1/2 x AB x AC = 1/2 x 6 x 4√5 = 12√5 cm2

Chiều cao h = SA = 8cm

Thể tích khối chóp: V = 1/3 x S x h = 1/3 x 12√5 x 8 = 32√5 cm3

Dạng 9: Tính thể tích khối chóp có các cạnh tạo góc vuông từng đôi một

Đề bài: Tính thể tích khối chóp S.ABC có các cạnh bên tạo góc vuông với nhau tại S. Biết SA = 5cm, SB = 3cm, SC = 4cm.

Lời giải: 

Ta có:

• SA vuông góc với SB
• SA vuông góc với SC

Suy ra: SA vuông góc (SBC)

Chiều cao h = SA = 5cm

Diện tích đáy: S = 1/2 x SB x SC = 1/2 x 3 x 4 = 6 cm2

Thể tích khối chóp: V = 1/3 x S x h = 1/3 x 6 x 5 = 10 cm3

Dạng 10: Tính thể tích khối chóp tròn xoay

Đề bài: Tính thể tích khối chóp tròn xoay có đáy là đường tròn bán kính 7cm và chiều cao 15cm. 

Lời giải:

Chiều cao h = 15cm

Bán kính r = 7cm

Công thức tính thể tích khối chóp tròn xoay:

V = 1/3 x B x h = = 1/3 x π x r^2 x h = 1/3 x π x 7^2 x 15 = 769,69 cm3

Với:

• B: diện tích đáy
• r: bán kính
• h: chiều cao

Dạng 11: Xác định thể tích cho khối chóp có đáy là tam giác đều

Đề bài: Tìm thể tích khối chóp S.ABC có chiều cao 9cm và đáy là tam giác có các cạnh bằng nhau và bằng 6cm. 

Lời giải:

Diện tích đáy: S = (cạnh^2 x √3)/4 = (6^2 x √3)/4 = 9√3 cm2

Chiều cao h = 9 cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: 

V = 1/3 x S x h = 1/3 x 9√3 x 9 = 27√3 cm3

Dạng 12: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều với cạnh đáy là a

Đề bài: Tìm thể tích khối chóp S.ABCD có chiều cao h = 12cm và đáy là hình vuông cạnh có độ dài a = 8cm. 

Lời giải:

Diện tích đáy: S = a x a = 8 x 8 = 64 cm2

Chiều cao h = 12 cm

Công thức tính thể tích khối chóp:

V = 1/3 x S x h = 1/3 x 64 x 12 = 256 cm3

Vậy là trên đây Sforum đã cung cấp cho mọi người các công thức tính nhanh thể tích của khối chóp đều và không đều, cũng như tổng hợp 12 dạng bài tập có lời giải cụ thể. Việc thành thạo công thức tính thể tích khối chóp không chỉ giúp bạn cải thiện kết quả học tập mà còn rèn luyện tư duy hình học.