Lý thuyết về đường tròn ngoại tiếp tam giác và bài tập ví dụ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có vị trí quan trọng trong hình học phẳng, xuất hiện ở nhiều dạng bài tập. Nắm vững kiến thức về nó giúp học sinh củng cố kiến thức hình học, rèn luyện tư duy logic và giải quyết vấn đề. Bài viết giúp bạn giải quyết các câu hỏi như đường tròn ngoại tiếp tam giác có tính chất như thế nào, cách vẽ và giải bài tập liên quan.

Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác

Trong hình học Euclid, mỗi tam giác đều có một đường tròn "đặc biệt" đi qua cả ba đỉnh của nó, đó là đường tròn ngoại tiếp. Tâm của đường tròn này nằm tại giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Đường trung trực là đường thẳng vuông góc với một cạnh tại trung điểm của cạnh đó. Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều ba đỉnh của tam giác bởi nó cũng chính là bán kính của đường tròn.

Chinh phục toán học hiệu quả hơn với người bạn điện thoại thông minh. Tìm hiểu ngay các sản phẩm tại cửa hàng CellphoneS để rinh về người bạn đồng hành với cấu hình mạnh mẽ, màn hình sắc nét cùng vô vàn ưu đãi hấp dẫn hỗ trợ giáo dục. 

[Product_Listing categoryid="3" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/mobile.html" title="Danh sách điện thoại đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Trước khi muốn vẽ và làm được bài tập, bạn cần hiểu rõ về tính chất về đường tròn ngoại tiếp. Dưới đây là một số tính chất quan trọng mà bạn không được quên đối với các dạng bài thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác:

• Điểm hội tụ của 3 đường trung trực tam giác được xác định là tâm đường tròn ngoại tiếp.
• Đường thẳng từ tâm đến từng đỉnh tam giác chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
• Trung điểm của cạnh huyền ở tam giác vuông cũng chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp.
• Một tính chất đặc biệt của tam giác đều là sự trùng khớp giữa tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm.

Ví dụ:
Xét tam giác vuông ABC với AB = 3cm, AC = 4cm, góc A bằng 90 độ. Yêu cầu xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Lời giải:

• Nhìn vào tính chất trên, ta thấy được tâm O trong đường tròn này là trung điểm cạnh huyền BC của tam giác ABC vuông.
• Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25. Suy ra BC = 5cm.

=> O nằm giữa BC, là trung điểm BC nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R = BO = BC/2 = 5/2 = 2.5cm.

Một số kiến thức khác về đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Ngoài định nghĩa và tính chất cơ bản, còn có một số kiến thức quan trọng khác về đường tròn ngoại tiếp tam giác mà bạn cần nắm vững. Bạn hãy tiếp tục ghi chép những kiến thức quan trọng dưới đây và luyện tập nha.

Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác

Để dựng được đường tròn ngoại tiếp một tam giác, ta cần tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Xác định và vẽ 2 đường trung trực của tam giác.

Bước 2: Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là tìm giao điểm của 2 đường trung trực vừa vẽ.

Bước 3: Đặt mũi nhọn compa vào giao điểm đã xác định, điều chỉnh độ rộng compa sao cho bằng khoảng cách từ điểm này đến một đỉnh của tam giác. Vẽ đường tròn, ta sẽ thu được đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Phương trình chi tiết của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể được biểu diễn bằng phương trình tổng quát:

với (a, b) là tọa độ trên tâm của đường tròn, c là hằng số thay đổi. 

Muốn biết chính xác phương trình của đường tròn ngoại tiếp một tam giác, ta cần phải xác định được tọa độ của tâm đường tròn (a, b) và độ dài bán kính R. Thông thường, bạn có thể sử dụng tọa độ ba đỉnh của tam giác để thiết lập hệ phương trình và giải tìm a, b, c. Hoặc áp dụng các tính chất hình học như tính chất đường trung trực, đường phân giác, đường cao để xác định tâm và bán kính đường tròn.

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác chuẩn nhất

Bài toán xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là một chủ đề kinh điển trong hình học Euclid. Có nhiều phương pháp tiếp cận, mỗi phương pháp mang đến những góc nhìn và ứng dụng khác nhau. Dưới đây là một số cách tính phổ biến và chuẩn xác:

Cách 1: Công thức liên hệ giữa bán kính, độ dài các cạnh và diện tích:

• R: bán kính đường tròn ngoại tiếp
• a, b, c: độ dài ba cạnh tam giác
• S: diện tích tam giác

Diện tích (S) được tính bằng công thức Heron:

p: nửa chu vi tam giác, p = (a + b + c) / 2

Cách 2: Định lý sin:

• R: bán kính đường tròn ngoại tiếp
• a, b, c: độ dài ba cạnh tam giác
• A, B, C: các góc đối diện với cạnh a, b, c

Cách 3:Trường hợp đặc biệt - tam giác vuông:

• Trong tam giác vuông, để xác định được tâm của đường tròn bạn chỉ cần biết trung điểm cạnh huyền ở đâu.
• Bán kính bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

Cách 4: Sử dụng tọa độ:

Ngoài ra bạn có thể sử dụng tọa độ Oxy để xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp. Hệ phương trình sẽ gồm những trục được tạo bởi đường trung trực và cạnh tam giác. Đường kẻ từ tâm của đường tròn đến mỗi đỉnh tam giác chính là bán kính.

Một số bài tập ví dụ về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài tập 1: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết tam giác này vuông tại A và có AB = 3cm, AC = 4cm.
Lời giải:

• Vì góc A trong tam giác ABC là góc vuông, đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ có đường kính là cạnh BC.
• Theo định lý Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 => BC = 5cm.

=>Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = BC/2 = 5/2 = 2,5cm.

Bài tập 2: Trong tam giác đều ABC có cạnh a, ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại O. Hỏi độ dài của AM và AO được tính như thế nào theo a?
Lời giải:

• Dựa vào tính chất phía trên về tam giác đều, ta có được 3 đường trung tuyến AM, BN, CP cũng là 3 đường cao, 3 đường trung trực. Tâm đường tròn là điểm hội tụ của ba đường trên.
• Tam giác ANB vuông tại N, ta có:

 AM² = AB² - BM² = a² + (a/2)² = 3a²/4 => AM = a√3 / 4

Vì O là trung tâm tam giác ABC nên AO = 2/3 AM = ⅔ x a√3 / 2 = a√3 / 3.

Bài tập 3: Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác, biết rằng ABC là tam giác đều với độ dài cạnh là a.

Lời giải:

• Do ABC là tam giác đều, ba đường trung tuyến của nó cũng đóng vai trò là đường cao và đường trung trực. 
• Tâm O của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực, nên nó cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến. 
• Mặt khác, trọng tâm G cũng là điểm đồng quy của ba đường trung tuyến.

=>O và G trùng nhau, hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm.

Mong rằng kết thúc bài viết bạn đã có kiến thức tổng quan về đường tròn ngoại tiếp tam giác. Nắm rõ câu trả lời của vấn đề đường tròn ngoại tiếp tam giác có tính chất gì sẽ giúp bạn dễ dàng hơn khi xác định phương hướng làm bài. Đừng quên ghé thăm Sforum để học thêm những dạng toán khác bạn nha.

Xem thêm bài viết trong chuyên mục: Góc Học & Dạy 4.0