Giới hạn dãy số lớp 11: Lý thuyết và bài tập chi tiết

Công thức toán 11 giới hạn của dãy số là một kiến thức tương đối khó đối với nhiều học sinh. Việc giải các bài tập về giới hạn dãy số lớp 11 rất dễ sai nếu không nắm vững các kiến thức liên quan. Trong bài viết này, Sforum sẽ giải đáp chi tiết từng nội dung lý thuyết đến các bài tập minh họa có lời giải cụ thể để học sinh dễ hiểu và dễ tiếp thu.

Lý thuyết về giới hạn của dãy số

Nếu muốn giải được những bài tập về giới hạn dãy số, trước tiên bạn phải hiểu rõ các nội dung lý thuyết. Có ba định nghĩa mà bạn cần tìm hiểu về kiến thức toán học này để ứng dụng trong việc giải bài tập. Dưới đây là thông tin cụ thể của từng kiến thức, mời bạn xem qua.

Dãy số có giới hạn 0

Nếu bạn có thể chọn một số dương rất nhỏ thì từ một điểm nào đó trong dãy số, tất cả các số hạng sau đó sẽ nhỏ hơn số dương đó theo giá trị tuyệt đối. Điều này có nghĩa là các số hạng của dãy sẽ gần với 0 hơn khi tiến đến dương vô cùng. Nếu điều này đúng cho mọi số dương nhỏ mà bạn chọn, thì giới hạn của dãy số (un) sẽ là 0.

Công thức định lý:

Tính chất giới hạn dãy số là 0:

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Trong toán 11 giới hạn của dãy số hữu hạn sẽ xảy ra khi nó là dãy số lim(un - L) = 0 (trong đó L là một số có thực).

Công thức định lý:

• Trong trường hợp lim(un) = L, ta được:

• Trong trường hợp mà lim(un) = L, lim(vn)= M và có hằng số “c”, lúc này ta được:

Tính chất:

• Với dãy số (un) = c, tức c sẽ là điểm giới hạn.
• gioi-han-day-so-6
• Giới hạn mọi dãy số không nhất thiết là hữu hạn.

Trong thời đại ngày nay, máy tính bảng là một công cụ học tập tuyệt vời để học sinh tiếp cận thông tin nhanh chóng và tiện lợi. Với khả năng truy cập internet, học sinh có thể tìm kiếm tài liệu, làm bài tập và tham gia các khóa học trực tuyến mọi lúc, mọi nơi. Tham khảo ngay một số máy tính bảng có chất lượng tốt đang được giảm giá sâu tại CellphoneS.

Dãy số có giới hạn vô cực

Một dãy số (un) có giới hạn dương vô cực khi bất kỳ số dương nào được cho trước từ một điểm nào đó trong dãy số, mọi số hạng của nó đều lớn hơn số dương đó. Ký hiệu:

Tích chất của giới hạn dãy số dương vô cực:

Một dãy số (un) có giới hạn âm vô cực khi bất kỳ số âm nào được cho trước từ một điểm nào đó trong dãy số, mọi số hạng của nó đều nhỏ hơn số âm đó. Ký hiệu:

Tích chất của dãy số có giới hạn là âm vô cực:

Các dạng bài toán liên quan đến giới hạn của dãy số kèm ví dụ minh họa

Hiện nay có 5 dạng bài tập giới hạn dãy số lớp 11 phổ biến mà học sinh vẫn thường bắt gặp. Mỗi dạng đề sẽ có cách áp dụng công thức khác nhau để cho ra đáp án đúng. Mời bạn cùng Sforum tìm hiểu về từng dạng bài tập giới hạn của dãy số lớp 11 nhé!

Dạng 1: Xác định giới hạn của dãy số thông qua công thức cho trước

Dạng bài tập này xuất hiện khá phổ biến trong một số bài kiểm tra của học sinh lớp 11. Phương pháp giải cho dạng đề này là dựa vào công thức giới hạn dãy số mà đề bài cho, kết hợp với định nghĩa và tính chất để đưa ra phép tính và kết quả đúng. Sau đây là ví dụ để bạn dễ hình dung khi bắt gặp dạng đề bài tập này.

Dạng 2: Xác định giới hạn của dãy số thông qua hệ thức truy hồi

Đây là một dạng bài tập tìm giới hạn dãy số tương đối khó, không ít các học sinh đã phải bỏ cuộc khi gặp đề toán này. Phương pháp giải như sau:

• Xác định công thức truy hồi của dãy số (un) với (un) có có giới hạn hữu hạn.
• Cho lim un = a (trong đó a là một số thực bất kỳ), lúc này lim un+1 = a.
• Đưa a vào công thức truy hồi và thực hiện phép tính tìm a theo phương trình.
• Kết quả nhận được: lim(un) = a

Dạng 3: Giới hạn của dãy số có chứa căn thức

Đối với dạng bài tập giới hạn dãy số này, phương án giải rất dễ dẫn đến đáp án sai bởi sự phức tạp từ đề bài đến quá trình tính toán. Bạn có thể thử tham khảo việc sử dụng các kỹ thuật đại số để đơn giản hóa biểu thức, cách phổ biến thường được thực hiện là nhân với biểu thức liên hợp. Mời bạn kham khảo một số ví dụ để nắm được cách giải cho dạng bài tập này.

Dạng 4: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

Bài toán về giới hạn dãy số hữu tỉ khá khó và rất dễ sai nếu áp dụng công thức không đúng, tham khảo ví dụ dưới đây để nắm phương pháp giải.

Ví dụ 1: Với a = 2.151515…, trong điều kiện m và n là các số nguyên dương thì bạn có thể biểu diễn được dưới dạng a = m/n. Vậy m + n bằng bao nhiêu ?

Lời giải:

Ví dụ 2: Nếu cho một cho thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng 0,3211…, có thể viết tối giản thành phân số a/b (trong đó a và b là số nguyên dương). Vậy a − b bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Từ đề bài ta có:

Suy ra: a = 289 và b = 900

Suy ra: a - b = 289 - 900 = -611

Dạng 5: Giới hạn của dãy số có dạng lũy thừa hoặc mũ

Cách giải bài tập tìm giới hạn dãy số chứa lũy thừa hoặc mũ thường liên quan đến việc phân tích dãy số và rút gọn biểu thức. Tận dụng cách chia các số hạng cho số hạng lớn nhất, bạn có thể dễ dàng xác định giới hạn của dãy số. Phương pháp này giúp giảm thiểu độ phức tạp của biểu thức và sử dụng các tính chất của giới hạn để đi đến kết quả chính xác.

Bài tập thực hành về giới hạn của dãy số từ cơ bản đến nâng cao

Lộ trình giải quyết các bài tập thực hành về giới hạn dãy số từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và phát triển tốt tư duy giải đề. Hãy bắt đầu từ các khái niệm cơ bản để hiểu rõ hơn về những nguyên tắc và phương pháp giải. Sau đó, làm quen với những dạng đề nâng cao để kích thích sự sáng tạo trong tư duy và khả năng phân sâu để phát triển kỹ năng giải đề. Dưới đây là một số bài tập với mức độ khó khác nhau.

Từ những nội dung chia sẻ, hy vọng bạn đã nắm vững các công thức toán 11 giới hạn của dãy số. Chúc cho bạn sẽ giải được nhiều bài tập về giới hạn dãy số lớp 11 nhanh chóng và chính xác. Nếu muốn biết thêm nhiều kiến thức hữu ích khác, bạn hãy cập nhật các bài viết mới của Sforum mỗi ngày nhé!