Hình chiếu là gì? Phân loại, tính chất và bài tập minh họa

Hình chiếu là gì? Trong toán học và vẽ kỹ thuật, đây là một khái niệm quan trọng giúp mô tả các đối tượng không gian lên mặt phẳng. Nhờ phương pháp này, chúng ta có thể quan sát và phân tích hình dáng cũng như cấu trúc của vật thể từ nhiều góc nhìn khác nhau. Hãy khám phá chi tiết hơn để hiểu thêm về khái niệm điểm hình chiếu, hình chiếu cạnh hay hình chiếu bằng là gì trong toán học qua bài viết sau đây của Sforum.

Hình chiếu là gì?

Hình chiếu là cách biểu diễn đối tượng không gian ba chiều lên mặt phẳng phẳng, giúp việc mô tả kích thước và hình dáng trở nên đơn giản hơn. Để hình thành một hình chiếu, cần có ba yếu tố chính: vật được chiếu, mặt phẳng để chiếu lên và phương pháp chiếu, cùng với các điểm chiếu xác định vị trí của vật. Khi xét một đoạn thẳng, hình chiếu của nó được xác định bởi khoảng cách giữa hai điểm tạo thành góc 90 độ với đoạn thẳng đã cho với mặt phẳng chiếu. Đối với một điểm, hình chiếu chính là giao điểm giữa đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng chiếu.

Phân loại hình chiếu trong toán học

Khái niệm này trong toán học là cách thể hiện các đối tượng hình học từ không gian 3D lên một mặt phẳng hai chiều. Trong đó, hình chiếu được chia thành hai loại chính: thẳng góc và trục đo. Sforum sẽ giải thích cụ thể cho bạn qua những thông tin chi tiết sau.

Hình chiếu thẳng góc là phương pháp phổ biến, sử dụng các tia chiếu có góc 90 độ với mặt phẳng để biểu diễn vật thể. Phương pháp này đảm bảo kích thước và hình dạng được giữ nguyên, giúp thể hiện chi tiết chính xác. Ba hình chiếu cơ bản gồm:

• Hình chiếu đứng: Mô tả mặt trước.
• Hình chiếu cạnh: Biểu diễn mặt bên.
• Hình chiếu bằng: Mô tả phần trên.

Hình chiếu trục đo cho phép biểu diễn cả ba chiều của vật thể. Trong phương pháp này, các tia chiếu luôn giữ sự song song và được chia thành hai loại chính:

• Trục đo 90 độ: Hệ số biến dạng có thể đều (ba trục bằng nhau), cân (hai trục bằng nhau), hoặc lệch (ba trục khác nhau).
• Trục đo xiên góc: Gồm xiên góc đều, cân hoặc lệch tùy theo tỉ lệ biến dạng.

Thêm vào đó, hình chiếu phối cảnh áp dụng các tia chiếu quy tụ về một hoặc nhiều điểm, giúp tái hiện hiệu ứng không gian với độ sâu rõ nét. Các dạng phổ biến gồm phối cảnh 1 điểm tụ, 2 điểm tụ hoặc 3 điểm tụ, thường dùng trong thiết kế và kiến trúc để tái hiện không gian chân thực.

Các tính chất quan trọng của hình chiếu

Ngoài biết về khái niệm hình chiếu là gì, điểm hình chiếu, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng trong toán học. Việc nắm rõ các tính chất của khái niệm này là điều cần thiết để bạn hiểu rõ hơn về nó. Một số tính chất của nó là: 

• Xác định vị trí: Hình chiếu của một điểm được xác định dựa trên đường thẳng đã cho. Nếu điểm thuộc đường đó, hình chiếu sẽ trùng hoàn toàn với chính điểm đó.
• Mối quan hệ đồng hướng: Hai điểm gần nhau trên một đường thẳng sẽ có hình chiếu tương ứng gần nhau và cùng nằm về một phía của đường thẳng.
• Phạm vi: Hình chiếu của một điểm thuộc đoạn thẳng có thể rơi vào đoạn thẳng hoặc nằm trên phần kéo dài của đoạn đó, phụ thuộc vào vị trí tương đối của điểm với đường thẳng.
• Tương ứng khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm được giữ nguyên khi so sánh với khoảng cách giữa hình chiếu trên đường thẳng.
• Đường vuông góc: điểm hình chiếu được tạo ra, đường kẻ từ điểm tới đường thẳng sẽ có góc vuông 90 độ với đường thẳng đó.

Các loại phép chiếu thường gặp

Hiện nay, có ba dạng phép chiếu chính thường được sử dụng. Mỗi loại phép chiếu có ưu điểm riêng, phục vụ cho các mục đích biểu diễn và ứng dụng khác nhau trong thực tế:

• Xuyên tâm: Xuyên tâm: Đây là dạng phép chiếu mà các tia chiếu hội tụ tại một điểm duy nhất, gọi là tâm chiếu S.
• Song song: Ở dạng này, các tia chiếu luôn song song với nhau và với một hướng nhất định L. Phép chiếu song song thường được sử dụng trong các phương pháp biểu diễn vật thể bằng hình chiếu trục đo, cho phép trình bày toàn bộ hình dạng ba chiều trên một mặt phẳng.
• Vuông góc: Loại phép chiếu này có các tia chiếu song song với nhau, đồng thời hướng chiếu L tạo góc vuông với mặt phẳng chiếu.

Hình chiếu vuông góc là gì?

Ngoài điểm hình chiếu, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng ra thì chúng ta còn một dạng khái niệm cần tìm hiểu nữa chính là dạng vuông góc. Đây là hình trên một mặt phẳng được xác định khi đường nối từ một điểm đến mặt phẳng tạo thành góc 90 độ với mặt phẳng đó.

Nếu đường thẳng AH có góc vuông 90 độ với mặt phẳng (Q) tại điểm H, thì điểm H chính là điểm hình chiếu A lên mặt phẳng (Q).

Các loại hình chiếu vuông góc thường gặp:

• Chính diện: Thể hiện vật thể từ hướng nhìn phía trước.
• Bên: Mô tả vật thể từ góc nhìn bên trái hoặc phải.
• Từ trên xuống: Cho thấy hình dạng vật thể từ góc nhìn phía trên.

Để tìm hiểu nhiều hơn về các kiến thức toán học khác thì bạn nên trang bị các thiết bị điện tử như iPad để hỗ trợ việc học hành. Bạn có thể tham khảo các dòng máy dưới đây: 

[Product_Listing categoryid="944" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/tablet/ipad.html" title="Các mẫu iPad đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Cách tìm hình chiếu trên một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng

Bạn đã được phổ cập những kiến thức về điểm hình chiếu, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng. Tiếp theo, Sforum sẽ cùng bạn tìm hiểu về phương pháp giải và ví dụ về nó trong các thông tin sau đây.

Phương pháp giải

Thông thường những bài toán này sẽ kêu chúng ta xác định điểm hình chiếu. Có 2 dạng và cách giải như sau: 

Tìm hình chiếu điểm B lên đường thẳng d:

• Xác định phương trình mặt phẳng P đi qua B và vuông góc với d.
• Tìm giao điểm H giữa đường thẳng d và mặt phẳng P. Điểm H chính là hình chiếu B lên d.

Tìm hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng P:

• Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P, đi qua B.
• Tìm giao điểm H giữa đường thẳng vừa lập và mặt phẳng P. Điểm H là hình chiếu A trên P.

Bài tập ví dụ minh họa

Xác định hình chiếu A(2,3,4) lên đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/1 = (z-2)/3

Hướng dẫn giải:

Xác định phương trình mặt phẳng chứa điểm A:

• Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u^→=(2,1,3).
• Mặt phẳng P tạo góc 90 độ với d sẽ nhận u^→ làm vectơ pháp tuyến.
• Phương trình mặt phẳng P: 2(x−2)+1(y−3)+3(z−4)=0 hay 2x+y+3z−19=0 

Tìm giao điểm H của d với P:

• Thay x=2t+1, y=t-1, z=3t+2 (phương trình tham số của d) vào phương trình mặt phẳng:

 2.(2t+1)+(t-1)+3.(3t+2) -19=0
4t+2+t-1+9t+6-19=0

⟹  14t-12=0

⟹  t=67

• Tọa độ H: x=2.(6/7)+1=19/7, y=6/7-1=-1/7, z=3.(6/7)+2=32/7

⟹ Điểm hình chiếu A lên d là H(19/7; -1/7; 32/7)

Mong rằng nội dung trên đã mang đến cho bạn một góc nhìn rõ ràng và chi tiết hơn về khái niệm hình chiếu là gì điểm hình chiếu là gì, hình chiếu bằng là gì, hình chiếu cạnh là gì. Nhờ đó, bạn có thể biết được tính chất, giúp việc phân tích các đối tượng trong không gian trở nên dễ dàng, trực quan hơn, giúp ích nhiều cho các bài toán thực tế. Đừng quên theo dõi theo Sforum trong các bài viết mới để tiếp tục khám phá những kiến thức giáo dục thú vị và bổ ích khác.

Xem thêm bài viết ở chuyên mục: Mẹo vặt