Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chi tiết

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian là một công cụ không thể thiếu, đóng vai trò trung tâm trong việc giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp. Việc xác định chính xác khoảng cách giữa hai đường thẳng này có ứng dụng rộng rãi trong cả lý thuyết và thực tiễn. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định cũng như kèm theo các ví dụ minh hoạ giúp bạn hiểu rõ hơn về nó.

Định nghĩa về khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian chính là độ dài của đoạn thẳng vuông góc chung ngắn nhất nối hai đường thẳng ấy. Tuy nhiên, để tính toán và lý giải khoảng cách này một cách chính xác, ta cần phân biệt giữa các trường hợp khác nhau của hai đường thẳng trong không gian ba chiều. Sau đây là hai trường hợp chính thường gặp.

• Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không bao giờ giao nhau và luôn có hướng giống nhau hoặc ngược nhau. Nói cách khác, chúng tồn tại trong cùng một mặt phẳng và luôn giữ khoảng cách không đổi trong suốt chiều dài của chúng.

• Hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau là những đường thẳng không có điểm chung, không song song và luôn nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, giống như hai sợi dây đan chéo nhau trong không gian.

Nếu bạn đang tìm kiếm một thiết bị hỗ trợ học tập và làm việc hiệu quả, hãy tham khảo ngay các dòng sản phẩm iPad chính hãng tại CellphoneS. Với cấu hình mạnh mẽ, màn hình sắc nét và tính năng hỗ trợ vẽ hình học trực tiếp, iPad sẽ là người bạn đồng hành hoàn hảo trong việc thực hiện các bài toán hình học phức tạp như tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian.

[Product_Listing categoryid="944" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/tablet/ipad.html" title="Các mẫu iPad đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song luôn duy trì khoảng cách không đổi. Khoảng cách giữa hai đường thẳng này được đo bằng đoạn thẳng vuông góc chung ngắn nhất giữa hai đường thẳng. Tức là: d(d;d’) = d(A;d’) mà trong đó A là một điểm thuộc d.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (d) và (d') có thể được tính bằng cách:

• Biểu diễn: Viết phương trình tổng quát của cả hai đường thẳng.

• Chọn điểm: Lấy một điểm bất kỳ A thuộc đường thẳng (d).

• Tính toán: Tìm độ dài đoạn vuông góc hạ từ A đến đường thẳng (d').

• Kết luận: Độ dài đoạn vuông góc này chính là khoảng cách cần tìm: d(d, d') = d(A, d').

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách của 2 đường thẳng chéo nhau ta có rất nhiều cách khác nhau. Hãy cùng Sforum tìm hiểu về công thức tính khoảng cách của 2 đường thẳng.

Phương pháp 1: Dựng đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng và tính độ dài đoạn vuông góc chung. Để sử tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng theo phương pháp này chúng ta sẽ dùng công thức như hình dưới đây:

Phương pháp 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng thứ hai. Để khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian theo phương pháp 2 này, bạn có thể áp dụng theo trình tự các hướng dẫn dưới đây:

• Chọn mặt phẳng () chứa đường b và song song với đường thẳng a.

• Dựng đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của a xuống mặt phẳng () bằng cách lấy điểm M thuộc đường thẳng a, dựng MN vuông góc với mặt phẳng (). Lúc này, đường thẳng d sẽ đi qua N và song song với a.

• Gọi H là giao điểm của d và b, từ đó HK sẽ song song với MN. Như vậy, HK là đoạn vuông góc chung của đường thẳng a và b. Bạn có thể theo dõi hình bên dưới để hiểu rõ hơn về khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Phương pháp 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đã cho. Đây được là công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau được chuyển về tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song. Cụ thể công thức như hình dưới đây:

Một số bài tập ví dụ minh hoạ

Việc vận dụng các công thức để tính được khoảng cách của 2 đường thẳng trong bài toán thực tế không chỉ giúp chúng ta củng cố lý thuyết mà còn rèn luyện khả năng áp dụng linh hoạt. Dưới đây là một số bài tập minh hoạ về khoảng cách giữa 2 đường thẳng lớp 11 nhằm hỗ trợ bạn hiểu rõ hơn về các dạng bài khi tính khoảng cách.

Bài tập 1

Cho hai đường thẳng lần lượt là d: 6x - 8y - 101 = 0 và d’: 3x - 4y = 0. Hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian.

Lời giải:

Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d II d’.

• Lấy điểm O(0:0) thuộc đường thẳng d’. Do hai đường thẳng đã cho song song với nhau, nên ta có:

• Vậy khoảng cách giữa d và d’ bằng 10,1

Bài tập 2

Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AB và CD.

Lời giải:

• Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó ta có:

Bài tập 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Hãy áp dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SC.

Lời giải:

• Ta có: AB II CD AB II (SCD). Do đó:

d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)).

• Kẻ đường cao AK thuộc tam giác SAD, ta có khoảng cách cần tìm:

Nắm vững công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian là chìa khóa để giải quyết thành công những bài toán hình học không gian phức tạp. Thông qua bài viết, bạn đã nắm được cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng trong cả trường hợp song song và chéo nhau. Hãy tiếp tục thực hành và áp dụng để đạt hiệu quả học tập và giáo dục tốt nhất bạn nhé.

Xem thêm bài viết trong chuyên mục: Góc Học & Dạy 4.0