Lý thuyết về phép thử và biến cố: Định nghĩa & Bài tập

Toán học đóng vai trò quan trọng trong phân tích các sự kiện ngẫu nhiên, đặc biệt là trong xác suất thống kê. Các khái niệm như phép thử và biến cố, công thức biến cố xác suất và không gian mẫu giúp chúng ta hiểu rõ cách xác định khả năng diễn ra của một sự kiện. Việc nắm vững những kiến thức này không chỉ hỗ trợ giải quyết bài tập phép thử và biến cố mà còn có nhiều ứng dụng thực tế. Bạn có thể phổ cập thêm kiến thức về chủ đề này cùng Sforum trong bài viết dưới đây.  

Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Trong xác suất thống kê, nắm vững phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu giúp phân tích chính xác các sự kiện diễn ra một cách bất định. Đây là nền tảng quan trọng để áp dụng công thức biến cố xác suất vào thực tế, hỗ trợ giải quyết bài toán xác suất và dự đoán kết quả của các hiện tượng ngẫu nhiên.

Định nghĩa phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là một thử nghiệm mà kết quả không thể dự đoán trước, nhưng có thể xác định được tập hợp các khả năng có thể diễn ra. Thực tế, phép thử ngẫu nhiên phức tạp hơn với không gian mẫu vô hạn, đòi hỏi kiến thức sâu hơn về biến cố xác suất. Cho dễ hiểu, chúng ta sẽ dùng thuật ngữ "phép thử" thay cho "phép thử ngẫu nhiên". 

Để dễ dàng hơn trong việc phổ cập các thông tin về toán học như phép thử và biến cố thì bạn nên sở hữu một chiếc iPad. Hãy xem qua các dòng iPad được yêu thích tại CellphoneS dưới đây: 

[Product_Listing categoryid="944" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/tablet/ipad.html" title="Các mẫu iPad đang được quan tâm nhiều tại CellphoneS"]

Khái niệm về không gian mẫu

Không gian mẫu là tập hợp các trường hợp có thể diễn ra trong một thử nghiệm ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu. Mỗi phần tử trong đó được xem như một biến cố cơ bản. Không gian mẫu có kí hiệu là Ω.

Ví dụ: Thực hiện một phép thử bằng cách tung hai đồng xu cùng lúc. Ký hiệu S đại diện cho mặt sấp và N biểu thị mặt ngửa của đồng xu. Tìm không gian mẫu của phép thử này.

Ω ={SN,NS,SS,NN}

Lý thuyết về biến cố

Trong xác suất, phép thử và biến cố đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích khả năng diễn ra của một sự kiện. Chúng ta đã tìm hiểu qua về định nghĩa phép thử ở trên, tiếp theo Sforum sẽ cập nhật cho bạn về biến cố và những kiến thức liên quan. 

Khái niệm và ví dụ minh họa

Giả sử phép thử T có không gian mẫu là Ω. Khi xét một tập hợp con A của Ω, ta gọi A là một biến cố. Trong quá trình thực hiện phép thử T, nếu kết quả nhận được thuộc tập hợp A, ta có thể khẳng định rằng biến cố A đã xuất hiện. 

Ví dụ:

Khi thực hiện tung đồng xu hai lần, xét biến cố N là “cả hai lần cho cùng một mặt xuất hiện”. 

N = {SS;NN}

Biến cố chắc chắn và biến cố không thể xảy ra

Trong xác suất thống kê, biến cố có thể được phân thành hai dạng chính: biến cố chắc chắn và biến cố không thể xảy ra. Khi xét một phép thử T với không gian mẫu Ω, chúng ta có các khái niệm quan trọng sau:

• Biến cố A được coi là một biến cố ngẫu nhiên khi A là tập con của không gian mẫu Ω và khác tập rỗng Ø.
• Biến cố chắc chắn chính là toàn bộ không gian mẫu Ω, vì nó bao gồm mọi khả năng có thể xuất hiện trong quá trình thử nghiệm. 
• Biến cố không thể xảy ra hay còn gọi là biến cố không, chính là tập rỗng Ø, vì không có kết quả nào trong không gian mẫu làm cho biến cố này diễn ra.

Lưu ý cần nắm về biến cố

Ngoài việc nắm rõ khái niệm về biến cố thì vẫn còn một số điều cần lưu ý khi gặp dạng toán này:

• Một biến cố ngẫu nhiên liên quan đến phép thử T được hiểu là một sự kiện có khả năng xảy ra hoặc không. 
• Khi tiến hành phép thử T, biến cố chắc chắn là sự kiện bắt buộc phải xảy ra, đồng thời biến cố không thể là sự kiện chắc chắn không thể xảy ra. 
• Trong mọi tình huống, biến cố A luôn đại diện cho một tập hợp các kết quả thuận lợi cho A. Những chú ý này giúp xác định biến cố xác suất và áp dụng công thức biến cố hiệu quả.

Quan hệ và phép toán giữa các biến cố

Sforum biết rằng các phép toán giữa biến cố giúp bạn vận dụng công thức biến cố, phân tích không gian mẫu và giải bài tập phép thử và biến cố chính xác hơn. Nên Sforum đã cập nhật giúp bạn các thông tin về nó dưới đây.

Hai biến cố đồng nhất

Hai biến cố A và B được xem là đồng nhất khi chúng có cùng tập hợp kết quả, tức là tập A trùng với tập B. Điều này đồng nghĩa với việc nếu phép thử được thực hiện, A và B sẽ cùng xảy ra hoặc cùng không xảy ra. Như vậy, ta có thể khẳng định rằng 2 biến cố này hoàn toàn giống nhau về mặt xác suất. Hai biến cố đồng nhất thường được ký hiệu là A = B.

Hợp và giao của các biến cố

Biến cố hợp của 2 biến cố A và B xuất hiện khi ít nhất một trong 2 biến cố xảy ra, ký hiệu A ∪ B. Tập hợp A ∪ B thuộc không gian mẫu Ω, biểu thị tất cả kết quả mà A hoặc B có thể xảy ra trong phép thử ngẫu nhiên.

Biến cố giao xảy ra khi cả 2 biến cố A và B cùng xuất hiện trong một phép thử. Ký hiệu của biến cố giao là A ∩ B hoặc AB. Điều này có nghĩa là tập hợp kết quả của A ∩ B thuộc không gian mẫu Ω. 

Hai biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc khi chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử, tức là A∩B=∅A∩B=∅.

Ví dụ: Xét phép thử gieo một con súc sắc, nếu biến cố A là "xuất hiện số lẻ" và biến cố B là "xuất hiện số chẵn", thì A và B là 2 biến cố xung khắc vì khi một trong hai xảy ra, biến cố còn lại không thể xảy ra.

Biến cố đối

Nếu biến cố C gắn liền với một phép thử T, thì tập hợp bổ sung Ω∖C cũng được xem là một biến cố, gọi là biến cố đối của C và được ký hiệu là D. 

Chú ý: Theo định nghĩa, ta có:

• D chính là "biến cố C không xảy ra".
• Biến cố D xảy ra khi và chỉ khi C không xảy ra.
• D là phần bù của C trong không gian mẫu Ω.
• Nếu D là biến cố đối của C, thì ngược lại, C cũng là biến cố đối của D.

Từ đó, ta có hệ thức:

(C và D là hai biến cố đối nhau) ⇔ C∪D=Ω và C∩D=∅(C và D là hai biến cố đối nhau)⇔C∪D=Ω và C∩D=∅

Bài tập về phép thử và biến cố (kèm lời giải)

Để bạn dễ hình dung hơn về công thức phép thử và biến cố thì hãy xem qua một số bài tập phép thử và biến cố sau đây: 

Bài tập 1: Một thùng có 70 thẻ bài, đánh số từ 1 đến 70. Lấy bất kìmột thẻ. Kí hiệu e là số ghi trên thẻ. Gọi E là biến cố: "e là ước của 28", F là biến cố: "e là ước của 70". Xét biến cố D: "e là ước của 14". Chứng tỏ D là biến cố giao của E và F.

Hướng dẫn giải:

E = {1; 2; 4; 7; 14; 28}; F = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}; D = {1; 2; 7; 14}.

Ta có E ∩ F = {1; 2; 7; 14}.

Vậy D là biến cố giao của E và F.

phep-thu-va-bien-co-6

Bài tập 2: 

Lê, Hân cùng với năm người bạn khác được sắp xếp theo một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai người Lê và Hân đứng ở vị trí đầu hàng".

Hướng dẫn giải:

 Số cách sắp xếp 7 người đứng thành một dãy thẳng là 7!.

Gọi D là biến cố "Lê đứng ở đầu hàng", E là biến cố "Hân đứng ở đầu hàng".

Xác suất của biến cố D là P(D) =  2.6!7! = 27

Xác suất của biến cố E là P(E) = 2.6!7! = 27

Xác suất của biến cố "Hai bạn Hân và Lê đứng ở hai đầu hàng" là: 

P(A∩B) = 2.5!7!= 121

Xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng" là: 

P(A∪B) = P(A)+P(B) −P(A∩B)= 27 + 27-121=1121

Tóm lại, phép thử và biến cố đóng vai trò cốt lõi trong xác suất, giúp ta phân tích và dự đoán khả năng xảy ra của các sự kiện trong thực tế. Hiểu rõ công thức biến cố và không gian mẫu sẽ giúp bạn áp dụng linh hoạt vào nhiều bài toán khác nhau. Hãy theo dõi Sforum để không bỏ lỡ những bài viết hữu ích về xác suất và nhiều lĩnh vực thú vị khác nhé