Trung điểm của đoạn thẳng là gì? Công thức, cách vẽ và ví dụ

Khi học toán hình học, chắc hẳn bạn đã từng thắc mắc: trung điểm là gì hay trung điểm của một đoạn thẳng là gì? Đây là một khái niệm đóng vai trò rất quan trọng trong toán. Đặc biệt, việc chứng minh trung điểm nghĩa là gì lớp 7 thường xuất hiện trong các bài tập suy luận logic. Hãy cùng Sforum khám phá tất cả những nội dung này qua bài viết dưới đây nhé!

Trung điểm của đoạn thẳng là gì?

Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm chính giữa, chia đoạn thẳng đó thành hai phần bằng nhau. Điểm này có vai trò quan trọng trong hình học, giúp xác định vị trí cân đối và làm cơ sở cho nhiều bài toán liên quan.

Để xác định trung điểm, bạn có thể sử dụng công thức toán học nếu biết tọa độ hai đầu mút hoặc chia đôi đoạn thẳng bằng cách đo đạc thực tế. Việc hiểu rõ trung điểm giúp bạn giải quyết dễ dàng các bài tập từ cơ bản đến nâng cao trong hình học.

Một chiếc tablet sẽ là trợ thủ đắc lực cho các bạn học sinh trong quá trình học tập, Tham khảo ngay những sản phẩm máy tính bảng phù hợp với nhu cầu của bạn tại đây:

[Product_Listing categoryid="4" propertyid="" customlink="https://cellphones.com.vn/tablet.html" title="Các mẫu Máy tính bảng hiện có tại CellphoneS"]

Tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Trong hình học, trung điểm của đoạn thẳng được hiểu là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng và có những tính chất đặc trưng. Với các tính chất này, trung điểm là khái niệm cơ bản và quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài toán và ứng dụng thực tế.

• Nếu M là trung điểm của AB, thì ta có MA = MB = AB/2
• Trung điểm còn được gọi là điểm chính giữa và mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm duy nhất

• Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một trung điểm, mặc dù có thể có nhiều điểm khác nằm giữa hai đầu mút
• Trung điểm luôn nằm giữa và cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng, tạo nên sự cân đối hoàn hảo trong hình học

Hướng dẫn vẽ trung điểm của đoạn thẳng

Trong hình học, việc xác định trung điểm của một đoạn thẳng là một kỹ năng cơ bản nhưng vô cùng quan trọng. Trung điểm không chỉ giúp chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau mà còn là nền tảng để xây dựng các hình học phức tạp hơn như đường trung tuyến hay hình đối xứng. Vậy làm thế nào để vẽ được trung điểm một cách chính xác? Hãy cùng tìm hiểu nhé!

Cách 1: Vẽ trung điểm đoạn thẳng bằng Compa

Vẽ trung điểm đoạn thẳng bằng compa là một phương pháp đơn giản nhưng cực kỳ chính xác trong hình học. Cách thực hiện cụ thể như sau:

• Bước 1: Dựng hai đường tròn tâm A bán kính AB và tâm B bán kính BA.
• Bước 2: Xác định hai giao điểm C và D của hai đường tròn vừa dựng. Sau đó, dựng đường thẳng CD.

• Bước 3: Xác định giao điểm M của đường thẳng CD và đoạn thẳng AB. M chính là trung điểm của AB

Cách 2: Vẽ trung điểm đoạn thẳng bằng thước

Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng là một trong những kỹ năng cơ bản nhưng rất cần thiết trong học hình học. Để xác định chính xác trung điểm M của đoạn thẳng AB, bạn chỉ cần làm theo các bước đơn giản sau:

• Bước 1: Sử dụng thước đo để xác định độ dài chính xác của đoạn AB. Ví dụ, giả sử đoạn AB dài 9 cm, bạn hãy dùng thước để kẻ một đoạn thẳng với độ dài tương ứng.

• Bước 2: Do M là trung điểm AB nên MA = MB = AB/2 = 4.5 cm. Trên đoạn AB, đánh dấu điểm M sao cho khoảng cách từ điểm A đến điểm M là 4.5cm. 

Cách 3: Xác định trung điểm đoạn thẳng bằng cách gấp giấy

Xác định trung điểm đoạn thẳng bằng cách gấp giấy là một phương pháp thú vị và dễ thực hiện. Hãy khám phá cách làm này qua các bước đơn giản như sau:

• Bước 1: Trước tiên, cần vẽ đoạn thẳng AB trên giấy.
• Bước 2: Gấp giấy sao cho điểm B trùng khít với điểm A hoặc ngược lại, điểm A trùng khít với điểm B.

• Bước 3: Quan sát nếp gấp. Điểm giao của nếp gấp với đoạn thẳng AB chính là trung điểm M cần xác định.

Cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng

Trung điểm của đoạn thẳng không chỉ là một khái niệm quen thuộc trong hình học mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán về đối xứng, chia đoạn thẳng và xây dựng hình học phức tạp. Tuy nhiên, để chứng minh một điểm là trung điểm của đoạn thẳng, chúng ta cần nắm rõ các tính chất và phương pháp cơ bản.

Chứng minh dựa vào tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Để chứng minh trung điểm của đoạn thẳng, ta có thể dựa vào định nghĩa của nó. Với 3 điểm A, B, C, để chứng minh B là trung điểm của AC, ta có thể thực hiện như sau:

• Bước 1: Cần chứng minh B thuộc đoạn thẳng AC và nằm giữa 2 điểm A và C. Ngoài ra, ta cần chứng minh rằng không có điểm nào khác ngoài A và C nằm giữa B trên đoạn thẳng AC. Điều này là cơ sở để B có thể được gọi là trung điểm.
• Bước 2: Cần chứng minh rằng B chia đoạn thẳng AC thành hai đoạn bằng nhau, nghĩa là AB = BC và AB + BC = AC. 

Sau khi hoàn thành các bước trên, ta có thể kết luận rằng điểm B là trung điểm của AC. Nó thỏa mãn đầy đủ các điều kiện: nằm trên đoạn thẳng AC, chia đoạn AC thành hai đoạn bằng nhau và tổng của hai đoạn này bằng chiều dài của đoạn thẳng AC.

Chứng minh dựa vào các tính chất của tam giác

Để chứng minh theo cách này, trước hết bạn cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm trong tam giác.Trong tam giác ABC, trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB, thì:

• Các đường AM, BN, CP gọi là các đường trung tuyến của tam giác.
• 3 đường trung tuyến đồng quy tại một điểm G, được gọi là trọng tâm của tam giác. Trong đó: AG/AM = BG/BN = CG/CP = 2/3
• Đường trung bình MN là đường nối trung điểm hai cạnh của tam giác sẽ song song với cạnh còn lại và có độ dài bằng nửa cạnh song song với nó (MN song song AB, MN/AB = 1/2).

Chứng minh dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt

Sử dụng các tứ giác đặc biệt như hình thang cân, hình bình hành, hoặc hình chữ nhật, trong đó các đường chéo cắt nhau tại trung điểm. Ví dụ: Trong hình bình hành, giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường chéo.

Trong hình thang ABCD có đáy là AB và CD, MN được gọi là đường trung bình của hình thang nếu MN // AB và MN = 1/2 (AB + CD), với M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC

Chứng minh trung điểm dựa vào tính chất của đường tròn

Phương pháp này dựa trên mối quan hệ giữa đường kính và dây cung trong một đường tròn. Định lý này rất quan trọng trong hình học, đặc biệt là trong việc xác định các điểm và các đoạn thẳng liên quan đến đường tròn. Định lý này khẳng định rằng trong một đường tròn có tâm O và đường kính AB, nếu đường kính AB vuông góc với một dây cung MN, thì đường kính AB sẽ đi qua trung điểm của dây cung MN. Ngược lại, nếu đường kính AB đi qua trung điểm của dây cung MN, thì đường kính AB sẽ vuông góc với dây cung MN.

Chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng

Ta có thể chứng minh trung điểm của đường thẳng bằng cách áp dụng tính chất đối xứng. Cụ thể, hai điểm A và B được coi là đối xứng qua một đường thẳng d nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

• d là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi d vuông góc với AB tại một điểm M - là trung điểm của đoạn thẳng AB.
• Trong đó, khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d là bằng nhau.

Một số dạng bài tập tìm trung điểm đoạn thẳng ví dụ có đáp án

Tìm trung điểm của đoạn thẳng là một kỹ năng cơ bản và quan trọng trong hình học. Bài viết này sẽ giới thiệu các dạng bài tập phổ biến kèm lời giải chi tiết, giúp bạn rèn luyện hiệu quả!

1. Ví dụ 1: Cho S là trung điểm của đoạn thẳng RT. Biết RT = 6cm. Tính độ dài RS và TS.

Lời giải :

Vì S là trung điểm của RT, ta có: RS = TS = RT/2 = 3cm

2. Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AC=8cm. Trên tia AC cho sẵn này, lấy điểm M sao cho AM = 4cm:

a) Trong ba điểm A,M,C, chỉ điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng MC

c) Điểm M có là trung điểm của AC không, giải thích vì sao?

Lời giải:

a) Ta có:

• M thuộc tia AC
• AM = 4cm, AC = 8cm => AM < AC

=> M nằm giữa A và C

b) Ta có: AM = 4cm, AC = 8cm

=> MC = AC−AM = 8−4 = 4cm.

c) Ta có:

• M nằm giữa A và C 
• AM = MC = AC/2 

=> M là trung điểm của AC

3, Ví dụ 3: Cho hai tia đối nhau Ox và Oy. Trên tia Ox, lấy điểm A với điều kiện OA = 3cm. Trên tia Oy, lấy B sao cho OB = 8cm. Hỏi O có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao? Tính AB.

Lời giải:

Vì hai điểm A và B nằm ở hai tia đối nhau, có O là điểm chung

=> AB = OA + OB = 3 + 8 = 11 cm 

Ta có: OA OB AB/2 => O không phải là trung điểm của đoạn thẳng AB

Qua bài viết này, Sforum hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về trung điểm là gì cũng như cách xác định trung điểm của một đoạn thẳng là gì. Không chỉ vậy, việc vận dụng và thực hành chứng minh trung điểm nghĩa là gì lớp 7 sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và phát triển tư duy logic. Cùng khám phá những khái niệm thú vị khác về giáo dục cùng Sforum nhé!

Xem thêm bài viết trong chuyên mục: Góc Học & Dạy 4.0