Trọng tâm là gì? Cách xác định trọng tâm trong tam giác

Trọng tâm là gì có lẽ là một khái niệm mà chúng ta thường bắt gặp nhiều trong các lĩnh vực khác nhau, đặc biệt là toán học. Vì vậy mà trong nội dung sau, Sforum sẽ giúp bạn tìm hiểu tính chất, xác định công thức tính trọng tâm tam giác là gì. Từ đó áp dụng vào trong những bài tập thêm hiệu quả nhé.

Trọng tâm là gì?

Hiểu theo mọi ngữ cảnh, trọng tâm được hiểu là tâm điểm của một vật hay vấn đề nào đó đang được xảy ra. Còn trong lĩnh vực toán học, trọng tâm là khái niệm miêu tả vị trí trung tâm của hình học, điển hình như trọng tâm tam giác. 

Cụ thể trong tam giác, trọng tâm chính là vị trí giao nhau giữa 3 đường trung tuyến. Trong đó, đường trung tuyến là đường bắt đầu từ mỗi đỉnh tam giác và đi qua trọng tâm để đến cạnh ở vị trí đối diện.

Các tính chất của trọng tâm

Bên cạnh việc hiểu rõ trọng tâm là gì, bạn cũng cần phải xác định được tính chất trọng tâm để dễ dàng áp dụng. Hiểu được điều đó nên trong nội dung sau, Sforum sẽ tổng hợp cho bạn một số tính chất đặc biệt của trọng tâm tam giác như sau:

• Trung điểm các cạnh tam giác: Trung điểm là điểm nằm chính giữa của mỗi cạnh trên hình tam giác. Đồng thời, nó cũng là điểm nối từ đỉnh đối diện đi qua trọng tâm của tam giác.
• Tâm đối xứng: Trọng tâm cũng được hiểu là tâm đối xứng trong hình tam giác. Ví dụ, nếu chúng ta kẻ đường thẳng từ tâm nối với đỉnh thì tam giác sẽ được chia thành hai phần tương tự.
• Giao điểm đường trung tuyến: Đây chính là điểm nằm ở vị trí giao nhau của 3 đường trung tuyến. Một điều đặc biệt là ngay tại trọng tâm tam giác, bạn sẽ vẽ ra được 3 đoạn thẳng nối với 3 trung điểm để tạo thành 3 đoạn đường trung tuyến.
• Tam cân của hình tam giác đều: Khi tìm hiểu tính chất trọng tâm là gì, bạn cũng sẽ nắm rõ khái niệm tâm cân. Trên thực tế, trong tam giác đều thì tâm cân cũng có nghĩa chính là trọng tâm. Hiểu đơn giản thì khoảng cách từ tâm cân tới từng đỉnh sẽ bằng nhau. Ngay tại điểm này, nó cũng là vị trí giao nhau của 3 đường trung tuyến đi qua.

Trọng tâm của một số hình tam giác đặc biệt

Khi làm bài tập toán, chúng ta thường bắt gặp không ít các loại bài tập yêu cầu phải xác định trọng tâm của một tam giác bất kỳ, chẳng hạn như: Tam giác đều, vuông, cân,... Tuy nhiên, trọng tâm của mỗi loại tam giác này sẽ thể hiện các đặc điểm và giá trị khác nhau, cụ thể:

Trọng tâm tam giác cân

Thông qua việc xác định tính chất trọng tâm là gì, chúng ta cũng biết được tam giác cân có những đặc điểm sau về trung điểm:

• Trọng tâm của tam giác cân là trung điểm nằm ở cạnh đối diện với vị trí đỉnh. Khi đó, vị trí từ trọng tâm tam giác đến từng đỉnh sẽ đều có khoảng cách bằng nhau.
• Tam giác cân có trục nằm đối diện các đường trung tuyến. Vì vậy mà trung điểm tam giác cũng chính là vị trí nằm giao nhau ở 3 đường trung tuyến. Ngoài ra, mỗi đoạn thẳng bắt đầu từ trọng tâm đến đỉnh của tam giác sẽ được gọi là đoạn trung tuyến.
• Trọng tâm tam giác cân cũng được hiểu là tâm đối xứng. Vì vậy mà khi bạn vẽ một đường từ trọng tâm đến đỉnh thì chúng sẽ phân tam giác thành hai hình giống nhau.

Trọng tâm tam giác vuông

Đối với tam giác vuông, trọng tâm của nó cũng có những tính chất cụ thể. Để hiểu rõ hơn về trọng tâm của tam giác vuông, các bạn hãy tìm hiểu thông qua những điểm sau:

• Trong tam giác vuông, trọng tâm được hiểu là tâm đối xứng của tam giác. Ngoài ra, nó cũng là trung điểm của cạnh đối diện với góc vuông. Ví dụ, nếu bạn vẽ một đường nối trọng tâm với góc vuông thì nó sẽ phân hai cạnh bên có kích thước bằng nhau.
• Tam giác vuông sở hữu góc vuông cùng với góc 45 độ nên trọng tâm của nó chính là trung điểm của cạnh có chứa góc vuông (hay còn gọi là cạnh huyền). Vì vậy mà trung điểm và trọng tâm của cạnh huyền sẽ là một điểm duy nhất.

Trong các bài toán, việc xác định trọng tâm tam giác là dạng bài tập mà bạn thường bắt gặp. Chính vì vậy, việc trang bị một chiếc máy tính cầm tay chất lượng sẽ hỗ trợ bạn việc giải toán thêm hiệu quả. Nếu chưa biết chọn mẫu máy tính nào, Sforum sẽ gợi ý cho bạn một số sản phẩm dưới đây:

Trọng tâm tam giác đều

Bên cạnh tam giác cân và tam giác vuông, trọng tâm của tam giác đều cũng sở hữu những tính chất quan trọng dưới đây:

• Trong tam giác đều, trọng tâm chính là vị trí giao nhau của 3 đường trung tuyến. Những đường trung tuyến này cũng chính là các đường được nối từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác. Vì thế mà trung điểm tam giác đều sẽ khớp với trung điểm mỗi đỉnh tương ứng.
• Điểm trọng tâm của tam giác đều thực chất cũng chính là tâm đối xứng. Vì vậy, nếu chúng ta vẽ một đoạn thẳng bắt đầu từ trọng tâm đến một đỉnh bất kỳ thì nó cũng chia hai phần còn lại có kích thước bằng nhau.
• 3 cạnh và 3 góc trên tam giác đều cùng có độ dài, độ lớn tương tự nhau. Chính vì vậy, trọng tâm của tam giác đều còn được hiểu là điểm hiển thị tâm của đường tròn ngoại tuyến.

Hướng dẫn cách xác định trọng tâm trong tam giác chính xác

Như chúng ta cũng biết, xác định trọng tâm tam giác là dạng bài tập thường gặp trong lĩnh vực toán học. Khi gặp dạng bài tập này, để có thể dễ dàng xác định trọng tâm thì các bạn hãy áp dụng hai cách dưới đây:

Cách 1: Xác định bằng giao điểm 3 đường trung tuyến

Dựa vào lý thuyết trong một tam giác, trọng tâm là khi 3 đường trung tuyến sẽ được giao nhau tại một điểm, cụ thể:

Bước 1: Đầu tiên, bạn vẽ một tam giác ABC rồi xác định trung điểm trên các cạnh AB, BC và CA.

Bước 2: Sau đó, bạn nối các đỉnh A, B, C với từng trung điểm trên các cạnh là AG, BF và CE.

Bước 3: Lúc này, bạn sẽ thấy giao điểm I của các đường trung tuyến là AG, BF và CE. Và tất nhiên, đây cũng là trung điểm tam giác ABC.

Cách 2: Xác định bằng tỉ lệ trên đường trung tuyến

Bên cạnh việc xác định trọng tâm bằng đường trung tuyến, bạn cũng có thể xác định bằng tỉ lệ trên đường trung tuyến như sau:

Bước 1: Trước tiên, bạn cũng cần vẽ tam giác ABC và trên hình này, bạn hãy xác định trung điểm M trên cạnh BC.

Bước 2: Tiếp theo, bạn vẽ một đường thẳng từ đỉnh A tới trung điểm M.

Bước 3:Trên đường thẳng đó, bạn lấy một điểm S như trong hình sao cho AS bằng 2/3 AM. Dựa theo khái niệm trọng tâm tam giác thì chúng ta xác định được trọng tâm tam giác ABC chính là điểm S.

Gợi ý bài tập vận dụng trọng tâm trong tam giác

Để giúp bạn có thể hiểu được công thức tính trọng tâm tam giác, chúng ta hãy cùng tìm hiểu thông qua bài tập dưới đây:

Đề bài:

Cho một tam giác vuông ABC sở hữu hai cạnh góc vuông với kích thước AB = 3cm và AC = 4cm. Tại đây, bạn hãy tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm M của tam giác ABC.

Cách giải:

Dựa vào khái niệm trong một tam giác vuông, đường trung tuyến sẽ ứng với cạnh bằng một nửa của cạnh huyền. Từ đây, ta sẽ gọi D là trung điểm của cạnh BC và AD sẽ bằng 1/2 BC. Như vậy: BC = √(AB^2 + AC^2) = √( 3^2 + 4^2 ) = 5 cm

=> AD = 1/2 x 5 = 2.5cm

Vì M là trọng tâm của tam giác ABC nên chúng ta sẽ có công thức: AM = 2/3 AD = 2/3 x 2.5 = 1.7 cm. Từ đây, ta xác định được AM sẽ bằng 1.7 cm.

Trên đây là những thông tin về tính chất trọng tâm là gì mà Sforum muốn chia sẻ đến bạn. Hy vọng với những kiến thức vừa được tổng hợp, các bạn sẽ nắm được cách xác định công thức tính trọng tâm tam giác là gì để áp dụng vào trong những bài tập của mình. Nhớ theo dõi Sforum để khám phá thêm nhiều nội dung hay nhé.